Jak obliczyć pasma predykcyjne dla regresji nieliniowej?

Strona pomocy dla Prism zawiera następujące wyjaśnienie, w jaki sposób oblicza pasma predykcyjne dla regresji nieliniowej. Przepraszam za długi cytat, ale nie postępuję zgodnie z drugim akapitem (który wyjaśnia, jak zdefiniowano $G|x$ i obliczono $dY/dP$ ). Każda pomoc byłaby bardzo mile widziana.

Obliczanie przedziałów ufności i predykcji jest dość standardowe. Zapoznaj się ze szczegółowymi informacjami na temat tego, w jaki sposób Pryzmat oblicza przedziały prognozowania i pewności regresji nieliniowej.

Najpierw zdefiniujmy G | x, który jest gradientem parametrów przy określonej wartości X i przy użyciu wszystkich najlepiej dopasowanych wartości parametrów. Wynikiem jest wektor z jednym elementem na parametr. Dla każdego parametru jest on definiowany jako dY / dP, gdzie Y jest wartością Y krzywej przy danej wartości X i wszystkich wartościach parametru najlepiej dopasowanego, a P jest jednym z parametrów.)

G '| x to transponowany wektor gradientowy, więc jest to raczej kolumna niż rząd wartości.

Cov jest macierzą kowariancji (odwrócony Hesjan z ostatniej iteracji). Jest to macierz kwadratowa z liczbą wierszy i kolumn równą liczbie parametrów. Każdy element w macierzy jest kowariancją między dwoma parametrami.

Teraz oblicz c = G '| x * Cov * G | x. Wynik jest pojedynczą liczbą dla dowolnej wartości X.

Pasma ufności i prognozy są wyśrodkowane na krzywej najlepszego dopasowania i rozciągają się powyżej i poniżej krzywej w równej wysokości.

Przedziały ufności rozciągają się powyżej i poniżej krzywej o: = sqrt (c) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (% ufności, DF)

Pasma prognozy rozciągają się na dalszą odległość powyżej i poniżej krzywej, równą: = sqrt (c + 1) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (% ufności, DF)

Nazywa się to metodą delta.

Załóżmy, że masz jakąś funkcję ; zwróć uwagę, że G ( ⋅ ) jest funkcją szacowanych parametrów β i wartości predyktorów x . Najpierw znajdź pochodną tej funkcji w odniesieniu do wektora parametrów β : G ′ ( β , x $y = G(\beta,x) + \epsilon$$G(\cdot)$$\beta$$x$$\beta$$G^\prime(\beta, x)$ . Oznacza to, że jeśli zmienisz nieco parametr, o ile zmieni się twoja funkcja? Zauważ, że ta pochodna może być funkcją samych parametrów, a także predyktorów. Na przykład, jeśli , to pochodną jest x exp ( β x ) , która zależy od wartości β i wartości x . Aby to ocenić, należy podłączyć szacunków beta że procedura daje, beta , a wartość predyktora$G(\beta,x) = \exp (\beta x)$$x \exp (\beta x)$$\beta$$x$$\beta$$\hat{\beta}$$x$ gdzie chcesz prognozę.

Delta Metoda, pochodzące z najwyższych procedur prawdopodobieństwa stwierdza, że wariancja będzie G ' ( β , x ) T Var ( β ) G ' ( β , x ) , gdzie var ( $G\left(\hat{\beta}, x\right)$

$$G^\prime\left(\hat{\beta},x\right)^T \text{Var}\left(\hat{\beta}\right) G^\prime\left(\hat{\beta},x\right),$$ $\text{Var}\left(\hat{\beta}\right)$jest macierzą wariancji-kowariancji twoich oszacowań (jest to odwrotność Hesji --- druga pochodna funkcji prawdopodobieństwa według twoich oszacowań). Funkcja wykorzystywana przez pakiety statystyk oblicza tę wartość dla każdej innej wartości predyktora . Jest to tylko liczba, a nie wektor, dla każdej wartości x .$x$$x$

Daje to wariancję wartości funkcji w każdym punkcie i jest używana tak jak każda inna wariancja w obliczaniu przedziałów ufności: weź pierwiastek kwadratowy z tej wartości, pomnóż ją przez wartość krytyczną normalnego lub stosownego rozkładu t istotnego dla szczególny poziom ufności oraz dodaj i odejmij tę wartość do oszacowania w punkcie.$G(\cdot)$

$x$$\text{Var}(y \mid x) \equiv \sigma^2$$\epsilon$$\hat{\sigma}^2$$y$$y$$\hat{\sigma}^2$SSDF

c$\sigma^2$$\sigma^{-2}$$\sigma$c*SS/DF

c$\left(x^\prime x\right)^{-1}$$\text{Var}\left(\hat{\beta}\right) = \sigma^2 \left(x^\prime x\right)^{-1}$ .