Rozróżnij efekty krótko- i długoterminowe

Przeczytałem w artykule następujące zdanie:

Fakt, że istnieje różnica między współczynnikami krótko- i długoterminowymi, wynika z naszej specyfikacji, która obejmuje opóźnione zmienne endogeniczne.

Prowadzą regresję pierwszych różnic i obejmują opóźnienie zmiennej zależnej.
Teraz twierdzą, że jeśli spojrzysz na oszacowanie (np. Nazwijmy to oszacowanie ) z wyjścia, to jest to krótkoterminowy efekt na zmienną zależną. Dalej argumentują, że spojrzenie na / (1 - oszacowanie opóźnienia) daje efekt p w długim okresie na zmienną zależną.$p$$p$
$p$

Artykuł można znaleźć: https://www.ecb.europa.eu/pub/pdf/scpwps/ecbwp1328.pdf i ich dyskusję na temat efektu krótko- / długoterminowego na stronie 20 w przypisie 23.

Nie do końca rozumiem, dlaczego można rozróżnić krótko- i długoterminowy wpływ $p$ na zmienną zależną. Gdyby ktoś mógł wyjaśnić swój pomysł bardziej szczegółowo, byłoby to bardzo pomocne.

Załóżmy, że masz model

Zauważ, że $y_{t-1}$ jest zawarte w modelu. Ponieważ $x_t$ ma wpływ na $y_t$ , $x_t$ będzie również oddziaływać na $y_{t+1}$ poprzez opóźnioną zmienną zależną, a wielkość tego efektu będzie wynosić $\beta \gamma x_t$ .

Historia nie kończy się tutaj. Wpływ $x_t$ na $y_{t+2}$ wyniesie $\beta^2 \gamma x_t$ . Wpływ $x_t$ na $y_{t+3}$ wyniesie $\beta^3 \gamma x_t$ . I tak dalej i tak dalej. Jeśli zsumujesz efekt natychmiastowy i wszystkie efekty opóźnione aż do nieskończonej przyszłości, uzyskasz skumulowany efekt $x_t$ na $y$ który będzie wynosił $\frac{1}{1-\beta}\gamma x_t$(gdzie używasz wzoru na nieskończoną sumę gnijącej serii geometrycznej, patrzWikipedia). To właśnie nazywa sięefektem długoterminowym .

Powyższy model można uogólnić na bardziej złożone struktury opóźnień, ale pomysł pozostaje ten sam; opóźnione zmienne zależne utrwalają wpływ na nieskończoną przyszłość.