Czy różnicę między kontrolą a leczeniem należy modelować w sposób jawny czy dorozumiany?

Biorąc pod uwagę następującą konfigurację eksperymentalną:

Od pacjenta pobiera się wiele próbek, a każda próbka jest traktowana na wiele sposobów (w tym leczenie kontrolne). Najbardziej interesująca jest różnica między kontrolą a każdym leczeniem.

Mogę wymyślić dwa proste modele tych danych. Gdy próbka , leczenie , leczenie 0 jest kontrolą, niech będzie danymi, będzie odniesienia dla próbki , będzie różnicą dla leczenia . Pierwszy model uwzględnia zarówno kontrolę, jak i różnicę: $i$ $j$ $Y_{ij}$ $\gamma_i$ $i$ $\delta_j$ $j$

Y_{i j} = γ_{i} + δ_{j} + ϵ_{i j}

$Y_{ij}=\gamma_i+\delta_j+\epsilon_{ij}$

δ_{0} = 0

$\delta_0=0$

Podczas gdy drugi model patrzy tylko na różnicę. Jeśli precalculate wcześniej następnie $d_{ij}$

d_{i j} = Y_{i j} - Y_{i 0}

$d_{ij}=Y_{ij}-Y_{i0}$

d_{i j} = δ_{j} + ε_{i j}

$d_{ij}=\delta_j+\varepsilon_{ij}$

Moje pytanie brzmi: jakie są podstawowe różnice między tymi dwoma konfiguracjami? W szczególności, jeśli poziomy same w sobie są pozbawione znaczenia, a liczy się tylko różnica, to czy pierwszy model robi zbyt wiele i może ma słabą moc?

— Rónán Daly
źródło

Mogę udzielić dokładniejszej odpowiedzi później, ale sugerowałbym, że ten artykuł Paula Allisona byłby interesujący ( Allison, 1990 ).

— Andy W

Edytowane w celu odzwierciedlenia faktu, że błędy w różnych modelach nie są w rzeczywistości takie same, a zatem nie powinny używać tych samych symboli.

— Rónán Daly,

są prawdopodobnie skorelowane w drugim modelu, ale nie pierwszy. $\epsilon_{ij}$

W pierwszym, terminy te reprezentują błąd pomiaru i odchylenia od modelu addytywnego. Z należytą starannością - na przykład poprzez losową sekwencję pomiarów - błędy te można uniezależnić, gdy model jest dokładny. Skąd

d_{i j} = Y_{i j} - Y_{i 0} = γ_{i} + δ_{j} + ϵ_{i j} - (γ_{i} + δ_{0} + ϵ_{i 0}) = δ_{j} + (ϵ_{i j} - ϵ_{i 0}) .

$d_{ij} = Y_{ij} - Y_{i0} = \gamma_i + \delta_j + \epsilon_{ij} - (\gamma_i + \delta_0 + \epsilon_{i0}) = \delta_j + (\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}).$

(Zauważ, że jest to sprzeczne z ostatnim równaniem w pytaniu, ponieważ błędne jest założenie, że Takie postępowanie zmusiłoby nas do przyznania, że są zmiennymi losowymi, a nie parametrami, przynajmniej raz potwierdzimy możliwość błędu pomiaru dla kontroli. Prowadziłoby to do tych samych wniosków poniżej). $\epsilon_{i0}=0$ $\gamma_i$

Dla , to implikuje $j, k \ne 0$ $j \ne k$

C o v (d_{i j}, d_{i k}) = C o v (ϵ_{i j} - ϵ_{i 0}, ϵ_{i k} - ϵ_{i 0}) = V a r (ϵ_{i 0}) \neq 0.

$Cov(d_{ij}, d_{ik}) = Cov(\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}, \epsilon_{ik} - \epsilon_{i0}) = Var(\epsilon_{i0}) \ne 0.$

Korelacja może być znaczna. W przypadku błędów id, podobne obliczenia pokazują, że wynosi 0,5. O ile nie używasz procedur, które jawnie i poprawnie obsługują tę korelację, faworyzuj pierwszy model nad drugim.

— Whuber
źródło

Tak więc założyłeś, że pierwszy model jest modelem prawdziwym i wyprowadziłeś niepożądaną właściwość drugiego modelu. Wiemy, że wszystkie modele są błędne, więc czy ten wynik jest naprawdę znaczący?

— Makro

@Macro Proszę uważnie przeczytać moją odpowiedź: jest stworzony, aby pokazać, jakie założenia są potrzebne, aby uzasadnić pierwszy model i odróżnić go od drugiego, ale nie zawiera żadnych założeń, że jakikolwiek model jest „prawdziwy”. Na przykład zwróć uwagę na „kiedy model jest dokładny”. Nawet słowo „dokładny” zostało wybrane z myślą o uniknięciu błędnego wrażenia, że istnieje „prawdziwy” lub „poprawny” model.

— whuber

Jestem trochę zdezorientowany, co to jest ?

d_{i k}

$d_{ik}$

— Andy W

@Andy i indeksują dwa różne sposoby leczenia. Powinienem napisać „For ...”; Naprawię tę literówkę. Dzięki za złapanie tego.

j

$j$

k

$k$

j, k \neq 0

$j,k \ne 0$

— whuber

@whuber Czy są jakieś odniesienia, które wspierają twoje stwierdzenie, np. w celu przekonania recenzentów?

— Daniel