Czy mediana jest właściwością „metryczną” czy „topologiczną”?

Przepraszam za niewielkie nadużycie terminologii; Mam nadzieję, że stanie się jasne, co mam na myśli poniżej.

Rozważmy zmienną losową . Zarówno średnią, jak i medianę można scharakteryzować za pomocą kryterium optymalności: średnia to liczba która minimalizuje , oraz mediana tej liczby, która minimalizuje . W tej perspektywie różnica między średnią a medianą stanowi wybór „metryki” do oceny odchyleń, kwadratu lub wartości bezwzględnej. $X$ $\mu$ $\mathrm E((X - \mu)^2)$ $\mathrm E(|X - \mu|)$

Z drugiej strony, mediana jest liczbą, dla której (przy założeniu ciągłości bezwzględnej), tzn. Ta definicja zależy tylko od możliwości uporządkowania wartości i jest niezależna od jak bardzo się różnią. Konsekwencją tego jest to, że dla każdej ściśle rosnącej funkcji , , co oznacza, że jest „topologiczna” w sensie niezmienność pod przekształceniami „gumowymi”. $\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$ $X$ $f(x)$ $\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Teraz zrobiłem matematykę i wiem, że zaczynając od kryterium optymalności, mogę dojść do frac12, więc oba opisują to samo. Ale nadal jestem zdezorientowany, ponieważ moja intuicja mówi mi, że coś, co zależy od „metryki”, nie może prowadzić do właściwości „topologicznej”. $\frac12$

Czy ktoś może dla mnie rozwiązać tę zagadkę?

mean median

— A. Donda
źródło

Niezły tytuł! :-)

— Luis Mendo

Wada twojego rozumowania polega na tym, że coś, co zależy od metryki, nie może być właściwością topologiczną.

Weź zwartość przestrzeni metrycznych. Można to zdefiniować za pomocą metryki: zwartość oznacza, że przestrzeń jest kompletna (zależy od metryki) i całkowicie ograniczona (zależy od metryki). Okazuje się jednak, że ta właściwość jest niezmienna w homeomorfizmie i rzeczywiście można ją zdefiniować jedynie w oparciu o topologię (skończone subkryty dowolnej okładki, zwykły sposób).

Innym przykładem są różne teorie homologii. Tylko pojedyncza homologia jest naprawdę topologiczna w swojej definicji. Wszystkie inne, proste, komórkowe, De Rham (kohomologia, ale daj mi trochę luzu) itp., Zależą od dodatkowej struktury, ale okazują się równoważne (i nieco łatwiejsze w pracy).

To pojawia się często w matematyce, czasem najłatwiejszym sposobem na zdefiniowanie czegoś jest pod względem pewnej struktury pomocniczej, a następnie wykazano, że wynikowa istota w rzeczywistości nie zależy w ogóle od wyboru struktury pomocniczej.

— Matthew Drury
źródło

Dziękuję za odpowiedź! Wygląda na to, że traktujesz moją terminologię poważniej, niż myślałem, że to możliwe. Muszę przyznać, że mam tylko najbardziej podstawową wiedzę o przestrzeniach topologicznych i metrycznych, więc może to być głupie pytanie: rozumiem, że użycie struktury pomocniczej ułatwia życie, choć nie jest to absolutnie konieczne - ok, może tak jest tu też.

— A. Donda

Ale mówicie także: „wynikowa istota w rzeczywistości nie zależy wcale od wyboru struktury pomocniczej”. Czy rozumiem poprawnie, że można użyć różnych struktur pomocniczych, aby uzyskać dokładnie tę samą topologię? Jeśli tak, to analogia się tutaj załamuje, ponieważ używając „metryki kwadratowej” nie dochodzę do mediany, ale do średniej, która nie jest niezmienna w przypadku transformacji monotonicznych.

— A. Donda

Słuszna uwaga. Przypuszczam, że to, co mówię, nie jest zaskakujące, gdy coś, co można zdefiniować w kategoriach struktury, okazuje się być definiowalne w kategoriach słabszej struktury - i często, gdy tak się dzieje, znalazłeś użyteczną koncepcję! W twoim przypadku możesz zdefiniować medianę w kategoriach arytmetyki i całkowania liczb rzeczywistych, co jest dużą strukturą, ale w rzeczywistości istnieje definicja, która wymienia arytmetykę porządkowania, słabszą strukturę. Moje przypadki były skrajnie ekstremalne, gdzie słabsza struktura okazała się prawie żadną strukturą.

— Matthew Drury

Kolejny punkt. Można powiedzieć, że powodem , dla którego transformacje monotoniczne zachowują medianę jest to, że istnieje sposób ich zdefiniowania pod względem struktury, dla której transformacjami monotonicznymi są morfizmy . Morfizm to ogólne abstrakcyjne bzdurne słowo, które oznacza funkcję, która zachowuje pewną strukturę .

— Matthew Drury

Ok, rozumiem o co chodzi. Ale nadal mam wrażenie, że zostało coś niewyjaśnionego, w szczególności punkt wspomniany powyżej. Głosowałem za tym, ale z tego powodu nie zaakceptuję twojej odpowiedzi - być może ktoś wymyśli jakieś dodatkowe informacje. Dzięki jeszcze raz!

— A. Donda,