Jak obliczyć przedział predykcji dla regresji wielokrotnej OLS?

Co to jest notacja algebraiczna do obliczania przedziału predykcji dla regresji wielokrotnej?

Brzmi głupio, ale mam problem ze znalezieniem wyraźnej algebraicznej notacji tego.

multiple-regression least-squares prediction-interval

— Michał
źródło

Weź model regresji z obserwacjami $N$ i $k$ regresorami:

y = X β + u

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

Biorąc pod uwagę wektor $\mathbf{x_0}$ , przewidywana wartość dla tej obserwacji wynosiłaby

E [y | x_{0}] = {\hat{y}}_{0} = x_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$ Spójne estymatorem wariancji to przewidywanie jest

gdzie

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$

s^{2} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} {\hat{u}}_{i}^{2}}{N - k} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$ Błąd Prognoza dla danego

y_{0}

$y_0$ jest

Kowariancja zerowego między

oznacza, że

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = x_{0} β + u_{0} - {\hat{y}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$

u_{0}

$u_0$

\hat{β}

$\hat \beta$

V a r [\hat{e}] = V a r [{\hat{y}}_{0}] + V a r [u_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$ i spójne estymatorem to

{\hat{V}}_{f} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'} + s^{2} .

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

$1-\alpha$ $\rm confidence$ odstęp wynosi:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{f}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— Dimitriy V. Masterov
źródło

Powyższa odpowiedź jest bardzo dobrze wykonana, ale myślę, że to źródło pomaga zapewnić kontekst dla pytania.

— Czerwiec Skeeter

@Dimitriy Uważam, że Twój drugi eqn powinien mieć marchewkę / kapelusz „^” nad

β

$\beta$ .

— Don Slowik

Czy błąd prognozy nie jest resztą:

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$ ?

— Don Slowik