Testowanie hipotezy Poissona dla dwóch parametrów

Tak więc, dla zabawy, pobieram niektóre dane połączeń z call center, w którym pracuję, i próbuję przetestować na nich kilka hipotez, a konkretnie liczbę połączeń odebranych w ciągu tygodnia, i dopasowuję je rozkładem Poissona. Ze względu na przedmiot mojej pracy istnieją dwa rodzaje tygodni, nazwijmy jeden z nich w tygodniach, w których przypuszczam, że jest więcej połączeń, a poza tygodniami, w których hipotetycznie jest ich mniej.

Mam teorię, że z tygodni (nazwijmy to ) jest większa niż z z tygodni (nazwijmy to )$\lambda$$\lambda_1$$\lambda_2$

Tak więc hipoteza, którą chcę przetestować, to$H_0: \lambda_1 > \lambda_2, H_1: \lambda_1 \leq \lambda_2$

Wiem, jak testować jeden parametr (powiedzmy ), ale nie jestem pewien, jak zacząć robić 2, biorąc pod uwagę zestaw danych. Powiedzmy, że biorę dane z dwóch tygodni z każdego i dla tygodnia i i dla tygodnia. Czy ktoś może pomóc mi przejść przez tę prostszą wersję, tak że mogę zastosować ją do większego zestawu danych? Każda pomoc jest doceniana, dziękuję.$H_0: \lambda_1 > 1, H_1: \lambda_1 \leq 1$$X_1 = 2$$X_2 = 3$$Y_1 = 2$$Y_2=6$

Zauważ, że normalnie równość jest zerowa (z uzasadnionego powodu).

Pomijając tę ​​kwestię, wspomnę o kilku podejściach do testu tego rodzaju hipotezy

1. Bardzo prosty test: warunek całkowitej obserwowanej liczby $n$, który przekształca go w dwumianowy test proporcji. Wyobraź sobie, że są$w_\text{on}$ na tygodnie i $w_\text{off}$ poza tygodniami i $w$ tygodnie łącznie.

Następnie poniżej zera oczekiwane proporcje są $\frac{w_\text{on}}{w}$ i $\frac{w_\text{off}}{w}$odpowiednio. Możesz dość łatwo wykonać jednostronny test proporcji w tygodniach.

2. Można skonstruować jednostronny test, dostosowując statystyki związane z testem współczynnika wiarygodności; Formularz Z testu Walda lub testu punktowego można wykonać na przykład jednostronnie i powinien on dobrze działać w przypadku dużych$\lambda$.

Są inne podejścia.

Co z właśnie zastosowanym GLM ze strukturą błędów Poissona i log-link? Ale idea dwumianu może być silniejsza.

Rozliczyłbym to za pomocą GLM Poissona lub Quasi-Poissona z preferencją dla quasi-Poissona lub dwumianu ujemnego.

Problem z użyciem tradycyjnego Poissona polega na tym, że wymaga on wariancji i średniej równości, co najprawdopodobniej nie jest prawdą. Quasi-Poisson lub NB szacuje wariancję nieograniczoną średnią.

Możesz wykonać dowolną z tych czynności w R. bardzo łatwo.

# week on = 1, week off = 0
week.status <- c(1, 1, 0, 0)
calls <- c(2, 6, 2, 3)
model <- glm(calls ~ week.status, family = poisson())
# or change the poisson() after family to quasipoisson() 
# or use the neg binomial glm from the MASS package

Podejście GLM jest korzystne i można je rozszerzyć o dodatkowe zmienne (np. Miesiąc w roku), które mogą mieć wpływ na liczbę połączeń.

Aby to zrobić ręcznie, prawdopodobnie użyłbym normalnego przybliżenia i testu t dwóch próbek.

Zaczynamy od parametru Maximum Likelihood Estimate dla parametru Poissona, który jest wartością średnią.

Więc, $\hat\lambda_1=\bar Y~~and~~\hat\lambda_2=\bar X$

Teraz możesz po prostu przetestować $\bar Y-\bar X\sim N(\lambda_1-\lambda_2,\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2})$

a następnie porównaj, otrzymując wartość Z =$\frac{(\bar Y-\bar X)-\lambda_1-\lambda_2}{\sqrt{\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2}}}$

Uwaga: - kryterium odrzucenia jest $Z<Critical~Value$

Począwszy od strony 125 testowej hipotezy statystycznej Caselli nakreślono odpowiedź na rodzaj sformułowanego pytania. Załączam link do pliku pdf, który znalazłem w Internecie w celach informacyjnych. Testowanie statystycznej hipotezy Caselli, wydanie trzecie .