Przybliżony rozkład iloczynu N normalnego iidu? Przypadek specjalny μ≈0

Biorąc pod uwagę iid i , szukamy: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

dokładne przybliżone przybliżenie dystrybucji zamkniętej formy $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
asymptotyczne ( wykładnicze ?) przybliżenie tego samego produktu

To jest szczególny przypadek bardziej ogólnego pytania . $\mu_X \approx 0$

1. Czy masz jakieś informacje na temat i ? (Byłoby miło, gdyby na przykład wszystkie ). (2) Bezobjawowe normalne przybliżenie będzie okropne , ponieważ asymptotycznie nie będzie wyglądać zdalnie normalnie.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

Właśnie się z tym pobawiłem. Jeśli jesteś zainteresowany, możliwe jest uzyskanie dokładnego rozwiązania w postaci zamkniętej dla iloczynu zmiennych losowych o numerze identyfikacyjnym . Przypadek niezerowy znacznie komplikuje sprawę.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— wilki

@ whuber (1) po zrobieniu Monte Carlo z różnymi i , stwierdziłem, że rozkład zachowuje się raczej dobrze dla i ; teraz chciałbym znaleźć fajne wyrażenie dla i podobne do tego, jak ma kilka fajnych przybliżeń. Zbudowałem kilka przybliżeń poprzez rozszerzenie Taylora, ale źle się zachowują. (2) no cóż, zdecydowanie „wygląda” na sumę normalną z chi do kwadratu, więc można zredukować do normalnej, jeśli przybliżenie to „udowodni”.

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— Andrei Pozolotin,

Kiedy , będzie ładnie przybliżone przez rozkład logarytmiczny (jako zastosowanie twierdzenia Barry'ego-Esseena do ).

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@whuber bezpośrednie zastosowanie Barry-Esseena daje F_N , co jest naprawdę fajne, ale traci pewną strukturę: powinno być ujemne, powinno zależeć od itp., być może istnieją lepsze sposoby na jego zastosowanie?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

Dokładne rozwiązanie można uzyskać w przypadku średniej zerowej (część B).

Problem

Niech oznaczają iid zmiennych, każda ze wspólnym plikiem pdf : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

Szukamy pliku pdf z , dla $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Rozwiązanie

Plik pdf dwóch takich normalnych jest po prostu:

... gdzie używam TransformProductfunkcji z pakietu mathStatica dla Mathematica . Dziedziną wsparcia jest:

Iloczyn norm 3, 4, 5 i 6 jest uzyskiwany przez iteracyjne zastosowanie tej samej funkcji (tutaj cztery razy):

... gdzie MeijerGoznacza funkcję Meijer G.

W wyniku indukcji pdf produktu losowych zmiennych wynosi: $n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Szybkie sprawdzenie Monte Carlo

Oto szybkie sprawdzenie porównujące:

właśnie uzyskany teoretyczny plik pdf (gdy i ): Krzywa CZERWONA KRESKOWANA $n = 6$ $\sigma=3$
do empirycznego pdf Monte Carlo: zawijasowa NIEBIESKA krzywa

Wygląda w porządku! [niebieska, zawijasowa krzywa Monte przesłania dokładną krzywą z czerwoną kreską]

— wilki
źródło

Znakomity, dziękuję, Colin. Teraz rozumiem, dlaczego muszę kupić twoją książkę :-) Zastanawiam się też, czy wygląda na prostszy. Czas odkurzyć moje umiejętności Wolfram.

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$

— Andrei Pozolotin