Jaki jest rozkład , gdzie są rozkładami jednorodnymi?

17

Mam cztery niezależne, równomiernie rozmieszczone zmienne , każda w . Chcę obliczyć rozkład . rozkład na (stąd ), a aby być Teraz rozkład sumy wynosi ( są również niezależne) bo $a,b,c,d$ $[0,1]$ $(a-d)^2+4bc$ $u_2=4bc$

f_{2} (u_{2}) = - \frac{1}{4} \ln \frac{u_{2}}{4}

$f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4}$

u_{2} \in (0, 4]

$u_2\in(0,4]$

u_{1} = (a - d)^{2}

$u_1=(a-d)^2$

f_{1} (u_{1}) = \frac{1 - \sqrt{u_{1}}}{\sqrt{u_{1}}} .

$f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.$

u_{1} + u_{2}

$u_1+u_2$

u_{1}, u_{2}

$u_1,\, u_2$

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (x - y) f_{2} (y) d y = - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y,

$f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,$

y \in (0, 4]

$y\in(0,4]$ . Tutaj musi być

x > y

$x>y$ więc całka jest równa

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = - \frac{1}{4} \int_{0}^{x} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y .

$f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.$ Teraz wstawiam go do Mathematica i otrzymuję

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \frac{1}{4} [- x + x \ln \frac{x}{4} - 2 \sqrt{x} (- 2 + \ln x)] .

$f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right].$

Zrobiłem cztery niezależne zbiory $a,b,c,d$ składające się z $10^6$ liczb i narysowałem histogram $(a-d)^2+4bc$ :

wprowadź opis zdjęcia tutaj

i narysował wykres $f_{u_1+u_2}(x)$ :

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Zasadniczo wykres jest podobny do histogramu, ale w przedziale $(0,5)$ większość z nich jest ujemna (pierwiastek wynosi 2,27034). Całka części dodatniej wynosi $\approx 0.77$ .

Gdzie jest błąd? Lub gdzie coś mi brakuje?

EDYCJA: Przeskalowałem histogram, aby wyświetlić plik PDF.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

EDYCJA 2: Myślę, że wiem, gdzie jest problem w moim rozumowaniu - w granicach integracji. Ponieważ i , nie mogę po prostu . Wykres pokazuje region, w którym muszę się zintegrować: $y\in (0,4]$ $x-y\in(0,1]$ $\int_0^x$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Oznacza to, że mam dla (dlatego część mojego była poprawna), in i in . Niestety Mathematica nie oblicza dwóch ostatnich całek (cóż, oblicza drugą, ponieważ w wyniku znajduje się wyimaginowana jednostka, która psuje wszystko ... ). $\int_0^x$ $y\in(0,1]$ $f$ $\int_{x-1}^x$ $y\in(1,4]$ $\int_{x-1}^4$ $y\in (4,5]$

EDYCJA 3: Wygląda na to, że Mathematica MOŻE obliczyć trzy ostatnie całki za pomocą następującego kodu:

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1}, Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4}, Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]

co daje poprawną odpowiedź :)

— corey979
źródło

2

Podoba mi się, że próbowałeś sprawdzić racjonalność swojej odpowiedzi przez symulację. Problem polega na tym, że wiesz , że popełniłeś błąd, ale nie wiesz dokładnie, gdzie. Czy zastanawiałeś się, czy możesz sprawdzić każdy etap metody, aby rozwiązać problem związany z błędem? Na przykład, czy błąd leży w twoim ? Możesz sprawdzić obliczony plik PDF pod kątem wyników symulowanych, tak jak w przypadku ostatecznej odpowiedzi. To samo dotyczy . Jeśli oba parametry i są poprawne, to popełniłeś błąd podczas ich łączenia. Takie sprawdzanie krok po kroku pozwala wskazać, gdzie popełniłeś błąd!

f_{1} (u_{1})

$f_1(u_1)$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

— Silverfish

Odrzuciłem pierwszą próbę i przeliczyłem ją od zera. Uważam, że i są poprawne, chociaż musiałem ręcznie pomnożyć mój początkowy przez 2, aby go znormalizować do jedności. Ale to po prostu zmienia wysokość i nie wyjaśnia, dlaczego mam ujemne .

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f

$f$

— corey979

Podczas generowania takich histogramów w celu porównania z obliczonymi wielkościami algebraicznymi przeskaluj histogram do prawidłowej gęstości (i nałóż je, jeśli możesz). Wykonaj podobne sprawdzenie dla swoich f1 i f2, aby upewnić się, że masz rację; jeśli mają rację (nie widziałem jeszcze żadnego powodu, aby je podejrzewać, ale najlepiej sprawdzić to dwukrotnie), to problem musi być później.

— Glen_b

19

Często pomaga korzystać z funkcji dystrybucji skumulowanej.

Pierwszy,

F (x) = Pr ((a - d)^{2} \leq x) = Pr (| a - d | \leq \sqrt{x}) = 1 - (1 - \sqrt{x})^{2} = 2 \sqrt{x} - x .

$F(x) = \Pr((a-d)^2 \le x) = \Pr(|a-d| \le \sqrt{x}) = 1 - (1-\sqrt{x})^2 = 2\sqrt{x} - x.$

Kolejny,

G (y) = Pr (4 b c \leq y) = Pr (b c \leq \frac{y}{4}) = \int_{0}^{y / 4} d t + \int_{y / 4}^{1} \frac{y d t}{4 t} = \frac{y}{4} (1 - \log (\frac{y}{4})) .

$G(y) = \Pr(4 b c \le y) = \Pr(b c \le \frac{y}{4}) = \int_0^{y/4} dt + \int_{y/4}^1\frac{y\,dt}{4t} = \frac{y}{4}\left(1 - \log\left(\frac{y}{4}\right)\right).$

Niech zawierać się między najmniejszą ( ) a największą ( ) możliwą wartością . Zapisując z CDF i z PDF , musimy obliczyć $\delta$ $0$ $5$ $(a-d)^2 + 4 b c$ $x=(a-d)^2$ $F$ $y=4 b c$ $g = G^\prime$

H (δ) = Pr ((a - d)^{2} + 4 b c \leq δ) = Pr (x \leq δ - y) = \int_{0}^{4} F (δ - y) g (y) d y .

$H(\delta) = \Pr((a-d)^2 + 4 b c \le \delta) = \Pr(x\le \delta-y) = \int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy.$

Można się spodziewać, że będzie to nieprzyjemne - jednolity rozkład pliku PDF jest nieciągły i dlatego powinien powodować przerwy w definicji więc jest to dość niesamowite, że Mathematica uzyskuje formę zamkniętą (której nie będę tutaj reprodukować). Zróżnicowanie go względem daje pożądaną gęstość. Jest on definiowany fragmentarycznie w trzech odstępach czasu. W , $H$ $\delta$ $0 \lt \delta \lt 1$

H^{'} (δ) = h (δ) = \frac{1}{8} (8 \sqrt{δ} + δ (- (2 + \log (16))) + 2 (δ - 2 \sqrt{δ}) \log (δ)) .

$H^\prime(\delta) = h(\delta) = \frac{1}{8} \left(8 \sqrt{\delta }+\delta (-(2+\log (16)))+2 \left(\delta -2 \sqrt{\delta }\right) \log (\delta )\right).$

W , $1 \lt \delta \lt 4$

h (δ) = \frac{1}{4} (- (δ + 1) \log (δ - 1) + δ \log (δ) - 4 \sqrt{δ} \coth^{- 1} (\sqrt{δ}) + 3 + \log (4)) .

$h(\delta) = \frac{1}{4} \left(-(\delta +1) \log (\delta -1)+\delta \log (\delta )-4 \sqrt{\delta } \coth ^{-1}\left(\sqrt{\delta }\right)+3+\log (4)\right).$

I w , $4 \lt \delta \lt 5$

\begin{aligned} h (δ) = \\ \frac{1}{4} (δ - 4 \sqrt{δ - 4} + (δ + 1) \log (\frac{4}{δ - 1}) + 4 \sqrt{δ} \tanh^{- 1} (\frac{\sqrt{(δ - 4) δ} - \sqrt{δ}}{δ - \sqrt{δ - 4}}) - 1) . \end{aligned}

$\eqalign{ &h(\delta) = \\ &\frac{1}{4}\left(\delta -4 \sqrt{\delta -4}+(\delta +1) \log \left(\frac{4}{\delta -1}\right)+4 \sqrt{\delta } \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\delta -4) \delta }-\sqrt{\delta }}{\delta -\sqrt{\delta -4}}\right)-1\right). }$

Ta liczba nakłada wykres na histogramie iid realizacji . Oba są prawie nie do odróżnienia, co sugeruje poprawność wzoru na . $h$ $10^6$ $(a-d)^2 + 4bc$ $h$

Poniżej znajduje się prawie bezmyślne rozwiązanie Mathematica o brutalnej sile . Automatyzuje praktycznie wszystko w obliczeniach. Na przykład obliczy nawet zakres wynikowej zmiennej:

ClearAll[ a, b, c, d, ff, gg, hh, g, h, x, y, z, zMin, zMax, assumptions];
assumptions = 0 <= a <= 1 && 0 <= b <= 1 && 0 <= c <= 1 && 0 <= d <= 1; 
zMax = First@Maximize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];
zMin = First@Minimize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];

Oto cała integracja i zróżnicowanie. (Bądź cierpliwy; obliczenie zajmuje kilka minut.) $H$

ff[x_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[(a - d)^2 <= x], {a, 0, 1}, {d, 0, 1}];
gg[y_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[4 b c <= y], {b, 0, 1}, {c, 0, 1}];
g[y_]  := Evaluate@FullSimplify@D[gg[y], y];
hh[z_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[ff[-y + z] g[y], {y, 0, 4}, 
          Assumptions -> zMin <= z <= zMax];
h[z_]  :=  Evaluate@FullSimplify@D[hh[z], z];

Na koniec symulacja i porównanie z wykresem : $h$

x = RandomReal[{0, 1}, {4, 10^6}];
x = (x[[1, All]] - x[[4, All]])^2 + 4 x[[2, All]] x[[3, All]];
Show[Histogram[x, {.1}, "PDF"], 
 Plot[h[z], {z, zMin, zMax}, Exclusions -> {1, 4}], 
 AxesLabel -> {"\[Delta]", "Density"}, BaseStyle -> Medium, 
 Ticks -> {{{0, "0"}, {1, "1"}, {4, "4"}, {5, "5"}}, Automatic}]

— Whuber
źródło

8

(+1), szczególnie dla przypomnienia ludziom, że zamiast tego, mówiąc o zwinięciu gęstości, „Często pomaga to w zastosowaniu funkcji rozkładu skumulowanego” - szczególnie, gdy mają one tak prostą formę jak tutaj. I ty też byłeś cholernie szybki.

— Alecos Papadopoulos

To wygląda na fajne rozwiązanie, które chciałbym zaakceptować - zaraz po tym, jak je zrozumiem. Jestem bardziej rachunkiem niż probabilistą; w tej chwili mam trzy pytania: i) w jaki sposób wykorzystałeś CDF, aby uzyskać i , ii) dlaczego jest i pod całką dla , i iii) w jaki sposób wyszedłeś z jego postaci że wynik rozwiązania będzie fragmentaryczny?

F (x)

$F(x)$

G (y)

$G(y)$

F

$F$

g

$g$

H

$H$

— corey979

(1) i to CDF. Są one obliczane na podstawie definicji CDF, na co wskazują pierwsze równości po ich pierwszym pojawieniu się. Szczegóły powinny być widoczne w kodzie, który wstawiłem. (2) Jest to wzór splotu dla sumy (dokładniej wyjaśniony w podobnym obliczeniu na stronie stats.stackexchange.com/a/144237 ). (3) Wstawiłem link do innego wątku o właściwościach równomiernych rozkładów.

F

$F$

G

$G$

— whuber

7

Podobnie jak OP i whuber, użyłbym niezależności, aby rozbić to na prostsze problemy:

Niech . Zatem pdf , powiedzmy to: $X = (a-d)^2$ $X$ $f(x)$

Niech . Zatem pdf , powiedzmy to: $Y = 4 b c$ $Y$ $g(y)$

Problem sprowadza się do znalezienia się wersję . Może być na to wiele sposobów, ale najprostszym dla mnie jest użycie funkcji wywoływanej z bieżącej wersji rozwojowej mathStatica . Niestety nie jest to obecnie dostępne w publicznym wydaniu, ale oto dane wejściowe: $X + Y$ TransformSum

TransformSum[{f,g}, z]

który zwraca pdf jako funkcję częściową: $Z = X + Y$

Oto wykres właśnie pobranego pliku pdf, powiedzmy : $h(z)$

Szybkie sprawdzenie Monte Carlo

Poniższy diagram porównuje empiryczne przybliżenie Monte Carlo pdf (squiggly niebieski) z teoretycznym pdf wyprowadzonym powyżej (czerwony przerywany). Wygląda w porządku.

— wilki
źródło