Jak obliczyć wagi kryterium Fishera?

Studiuję rozpoznawanie wzorców i uczenie maszynowe i natrafiłem na następujące pytanie.

Rozważ problem z klasyfikacją dwóch klas z jednakowym prawdopodobieństwem wcześniejszej klasy

$$P(D_1)=P(D_2)= \frac{1}{2}$$

oraz rozkład instancji w każdej klasie podany przez

$$p(x|D_1)= {\cal N} \left( \begin{bmatrix} 0 \\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right),$$

$$p(x|D_2)= {\cal N} \left( \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right).$$

Jak obliczyć wagi kryterium Fishera?

Aktualizacja 2: Obliczona waga dostarczona przez moją książkę to: .$W=\begin{bmatrix} \frac{-4}{3} \\ \frac{-2}{9} \end{bmatrix}$

Aktualizacja 3: Jak sugeruje @xeon, rozumiem, że powinienem ustalić linię projekcji dla dyskryminatora Fishera.

Aktualizacja 4: Niech będzie kierunkiem linii rzutowania, następnie liniowa metoda dyskryminacji Fishera stwierdza, że ​​najlepsze to takie, dla którego funkcja kryterium jest zmaksymalizowana. Pozostałe wyzwanie polega na tym, jak uzyskać liczbowo wektor ?W $W$$W$$W$

Zgodnie z dokumentem, do którego linkujesz (Mika i in., 1999) , musimy znaleźć które maksymalizuje tak zwany uogólniony iloraz Rayleigha ,$\mathbf{w}$

$$\frac{\mathbf{w}^\top \mathbf{S}_B \mathbf{w}}{\mathbf{w}^\top \mathbf{S}_W \mathbf{w}},$$

gdzie dla średnich i kowariancji C 1 , C 2 ,$\mathbf{m}_1, \mathbf{m}_2$$\mathbf{C}_1, \mathbf{C}_2$

$$\begin{align} \mathbf{S}_B &= (\mathbf{m}_1 - \mathbf{m}_2)(\mathbf{m}_1 - \mathbf{m}_2)^\top, & \mathbf{S}_W &= \mathbf{C}_1 + \mathbf{C}_2. \end{align}$$

$$\begin{align} \mathbf{S}_B\mathbf{w} = \lambda \mathbf{S}_W\mathbf{w}, \end{align}$$ $\lambda$ wSB-λSW=( 16 - 3 λ 16 16 16 - 2 λ ) $$\begin{align} \det(\mathbf{S}_B - \lambda \mathbf{S}_W) = 0 \end{align}$$ $\mathbf{w}$ $$\mathbf{S}_B - \lambda \mathbf{S}_W = \begin{pmatrix}16 - 3\lambda & 16 \\ 16 & 16 - 2\lambda\end{pmatrix}.$$

Wektor własny o największej wartości własnej maksymalizuje iloraz Rayleigha. Zamiast wykonywać obliczenia ręcznie, rozwiązałem uogólniony problem wartości własnych w Pythonie za pomocą scipy.linalg.eigi otrzymałem co różni się od rozwiązania znalezionego w książce. Poniżej nakreśliłem optymalną hiperpłaszczyznę znalezionego wektora ciężaru (czarny) i hyerplane wektora ciężaru znalezionego w książce (czerwony).

$$w_1 \approx 0.5547, w_2 \approx 0.8321,$$

$\hskip1in$

$\mathbf{SOLUTION 1:}$

W ślad za Dudą i in. (Pattern CLassification), który ma alternatywne rozwiązanie dla @lucas iw tym przypadku daje bardzo łatwe do obliczenia rozwiązanie ręcznie. (Mam nadzieję, że to alternatywne rozwiązanie pomaga !! :))

W dwóch klasach LDA celem jest:

$\frac{w^TS_Bw}{w^TS_Ww}$ co oznacza po prostu, że zwiększa wariancję między klasami i zmniejsza wariancję wewnątrz klasy.

gdzie i , tutaj są macierzą kowariancji, a są odpowiednio klasami 1 i 2.$S_B = (m_1-m_2)(m_1-m_2)^T$$S_W = S_1 + S_2$$S_1,S_2$$m_1,m_2$

Rozwiązaniem tego uogólnionego ilorazu Raleigha jest uogólniony sonda wartości własnej.

$S_Bw = \lambda S_Ww \rightarrow {S_W}^{-1}S_Bw = \lambda w$

Powyższy preparat ma postać zamkniętą. jest macierzą rangi 1 na podstawie więc którą można normować, aby uzyskać odpowiedź.$S_B$$m_1-m_2$$w \propto {S_W}^{-1}(m1-m2)$

Właśnie obliczyłem i otrzymałem [0,5547; 0,8321].$w$

${S_W}^{-1}(m1-m2) = {(S_1 + S_2)}^{-1}(m1 - m2) = {(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})}^{-1}(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix} ) ={(\begin{bmatrix} 1/3 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix})}(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} -1.3333 \\ -2.0000 \end{bmatrix} \propto \begin{bmatrix} 0.5547 \\ 0.8321 \end{bmatrix}$

Patrz: Klasyfikacja wzorów według Dudy, Hart, Stork

$\mathbf{SOLUTION 2:}$

Alternatywnie można to rozwiązać, znajdując wektor własny w uogólnionym problemie wartości własnej. $S_Bw = \lambda S_Ww$

Wielomian w lambda można utworzyć za pomocą a rozwiązaniem tego wielomianu będzie wartość własna dla . Powiedzmy teraz, że masz zestaw wartości własnych jako pierwiastki wielomianu. Teraz podstaw i uzyskaj odpowiedni wektor własny jako rozwiązanie układu liniowego równań . Robiąc to dla każdego i, możesz uzyskać zestaw wektorów i jest to zestaw wektorów własnych jako rozwiązań.$determinant(S_B - \lambda S_W)$$S_Bw = \lambda S_Ww$$\lambda_1,\lambda_2, ..., \lambda_n,$$\lambda = \lambda_i, i \in \{1,2,..,n\}$$S_Bw_i = \lambda_i S_Ww_i$$\{w_i\}_{i=1}^{n}$

$determinant(S_B - \lambda S_W) = \begin{bmatrix} 16 - 3\lambda & 16 \\ 16 & 16 - 2\lambda \end{bmatrix} =6\lambda^2 - 80\lambda$ , więc wartości własne są pierwiastki wielomianowe .$6\lambda^2 - 80\lambda$

Zatem 0 i 40/3 to dwa rozwiązania. Dla LDA rozwiązaniem jest wektor własny odpowiadający najwyższej wartości własnej.$\lambda=$

Rozwiązanie układu równań i$(S_B - \lambda_i S_W)w_i = 0$$\lambda_i = 40/3$

który okazuje się być$\begin{bmatrix} 16 - 3\lambda & 16 \\ 16 & 16 - 2\lambda \end{bmatrix}w_i \propto \begin{bmatrix} -72 & 48 \\ 48 & -32 \end{bmatrix}w_i = 0$

Rozwiązaniem powyższego układu równań jest który jest taki sam jak poprzednie rozwiązanie.$\begin{bmatrix} -0.5547 \\ -0.8321 \end{bmatrix} \propto \begin{bmatrix} 0.5547 \\ 0.8321 \end{bmatrix}$

Alternatywnie możemy powiedzieć, że leży w pustej przestrzeni .$\begin{bmatrix} 0.5547 \\ 0.8321 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} -72 & 48 \\ 48 & -32 \end{bmatrix}$

W przypadku dwóch klas LDA rozwiązaniem jest wektor własny o najwyższej wartości własnej. Ogólnie rzecz biorąc, dla LDA klasy C rozwiązanie stanowią pierwsze wektory własne C - 1 o najwyższych wartościach własnych C - 1.

W tym filmie wyjaśniono, jak obliczać wektory własne dla prostego problemu z wartością własną. ( https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/eigen_everything/v/linear-algebra-finding-eigenvectors-and-eigenspaces-example )

Oto przykład. http://www.sosmath.com/matrix/eigen2/eigen2.html

Wieloklasowy LDA: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_discriminant_analysis#Multiclass_LDA

Obliczanie pustej przestrzeni macierzy: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/null_column_space/v/null-space-2-calcul-the-null-space-of-a-matrix