gdy jest zmienną ciągłą

Wiem, że dla zmiennej ciągłej . $P[X=x]=0$

Ale nie mogę sobie wyobrazić, że jeśli , istnieje nieskończona liczba możliwych . A także dlaczego ich prawdopodobieństwa stają się nieskończenie małe? $P[X=x]=0$ $x$

— czas
źródło

możliwy duplikat warunkowego prawdopodobieństwa zmiennej ciągłej

— Xi'an

Istnieją już dwa głosy, aby zamknąć to pytanie jako duplikat. Nie zgadzam się Jest to dość podstawowy temat, jeden z tych, który prawdopodobnie pojawi się ponownie w przyszłości, więc dobrze byłoby, gdyby miał bezpośrednią i wysokiej jakości odpowiedź, abyśmy mogli się do niego odwoływać w przyszłości. Link podany przez @ Xi'an może być traktowany jako duplikat, ale jest również dość konkretny i trudny do znalezienia za pomocą wyszukiwania. Link nie zapewnia również wyczerpującej odpowiedzi, podczas gdy zagrożenie to wydaje się do niego zbliżać. Myślę, że należy to pozostawić otwarte jako odniesienie w przyszłości.

— Tim

Pomocne może być rozważenie odwrotności tej sytuacji. Niech będzie dowolną zmienną losową, a dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Może istnieć tylko skończona liczba dla której , w przeciwnym razie - sumując wszystkie te prawdopodobieństwa w odniesieniu do zdarzeń rozłącznych - doszedłbyś do wniosku, że całkowite prawdopodobieństwo wynosi co najmniej

, który ostatecznie przekracza

. (Jest to właściwość liczb rzeczywistych Archimedesa .) W tym rozumowaniu stosowane są tylko trzy aksjomaty : dodawane są prawdopodobieństwa zdarzeń rozłącznych, całkowite prawdopodobieństwo wynosi

, a aksjomat Archimedesa.

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

— whuber

@Tim Dziękuję, ale zamieściłem tę myśl jako komentarz, a nie odpowiedź, ponieważ jest niekompletna: nie wymyśliłem elementarnego sposobu wyjaśnienia tego, co dzieje się w limicie jako

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ . Wydaje się, że wymaga pewnej wiedzy na temat liczności zbiorów nieskończonych.

— whuber

@ Xi'an Zgadzam się, ale zaproponowany przez Ciebie wątek nie jest wystarczająco ścisłym duplikatem. To jest trudne do znalezienia. Czy być może znasz inne wątki, które duplikują to pytanie?

— whuber

Odpowiedzi:

Prawdopodobieństwa są modelami względnych częstotliwości obserwacji. Jeśli zaobserwuje się, że zdarzenie wystąpiło razy w próbach, wówczas jego częstotliwość względna wynosi i ogólnie uważa się, że wartość liczbowa powyższy stosunek jest zbliżony do gdy jest „duży”, gdzie to, co oznacza „duży”, najlepiej pozostawić wyobraźni (i łatwowierności) czytelnika. $A$ $N_A$ $N$

częstotliwość względna wynosząca (ZA) = \frac{{N.}_{ZA}}{N.}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

Zauważono, że jeśli nasz model jest ciągłą zmienną losową, wówczas próbki są różnymi liczbami. Zatem częstotliwość względna określonej liczby (lub, bardziej pedantycznie, zdarzenia ) wynosi albo jeśli jeden z ma wartość , albo jeśli wszystkie są różne z . Jeśli bardziej sceptyczny czytelnik zbierze dodatkowe próbek, względna częstotliwość zdarzenia wynosi albo $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ lub nadal cieszy się wartością . W ten sposób można się domyślić, że należy przypisać wartość ponieważ jest to dobre przybliżenie obserwowanej częstotliwości względnej. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Uwaga: powyższe wyjaśnienie jest (zwykle) satysfakcjonujące dla inżynierów i innych zainteresowanych zastosowaniem prawdopodobieństwa i statystyki (tj. Tych, którzy uważają, że aksjomaty prawdopodobieństwa zostały wybrane tak, aby uczynić teorię dobrym modelem rzeczywistości), ale całkowicie niezadowalające dla wielu innych. Można również podejść do pytania z czysto matematycznego lub statystycznego punktu widzenia i udowodnić, że musi mieć wartość ilekroć jest ciągłą zmienną losową, poprzez logiczne wnioski z aksjomatów prawdopodobieństwa i bez żadnego odniesienia do względnej częstotliwości lub obserwacji fizycznych itp. $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— Dilip Sarwate
źródło

+1 „Uwaga: powyższe wyjaśnienie jest ... zadowalające dla ... tych, którzy uważają, że aksjomaty prawdopodobieństwa zostały wybrane, aby uczynić teorię dobrym modelem rzeczywistości), ale całkowicie niezadowalające ...”, w preferowane frazowanie internetowe, lol.

— Gung - Przywróć Monikę

Nie rozumiem co masz na myśli przez to zaobserwowano, że jeśli jest ciągła, to ... $X$ . Jak możemy to zaobserwować?

— Stéphane Laurent,

@ StéphaneLaurent To zdanie jest trochę skomplikowane, dlatego należy je ponownie przeczytać. Pozbawiony niektórych nawiasów, mówi: „zaobserwowano, że… próbki… są różnymi liczbami”. Innymi słowy, gdy ktoś zakłada, że ma rozkład ciągły , to (prawie na pewno) nie będzie duplikatów w dowolnej skończonej IID próbki . Można to udowodnić matematycznie: nie jest to zwykła obserwacja.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent Myślę, że uwagi Dilipa są przedstawiane w innym duchu. Ta odpowiedź nie jest próbą dostarczenia matematycznie rygorystycznej demonstracji, ale zapewnia intuicję i motywację do faktu, który zastanawia OP. Intryguje mnie to podejście, ponieważ ma taki potencjał, aby wypełnić lukę między dyskretną teorią prawdopodobieństwa tradycyjnie nauczaną dla początkujących a bogatszą ogólną teorią prawdopodobieństwa opartą na teorii miary.

— whuber

@ whuber Rozumiem ducha, ale na pierwszy rzut oka nie byłem przekonany, że właściwość no-ties jest bardziej intuicyjna niż właściwość zerowego prawdopodobieństwa. W przypadku jest to w rzeczywistości to samo: „ ” .

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Stéphane Laurent,

Niech będzie podstawową przestrzenią prawdopodobieństwa. Mówimy, że mierzalna funkcja jest absolutnie ciągłą zmienną losową, jeśli miara prawdopodobieństwa powyżej określona przez , znana jako rozkład , jest zdominowany przez miarę Lebesgue'a , w tym sensie, że dla każdego zestawu Borela $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ , jeśli , to . W tym przypadku twierdzenie Radona-Nikodyma mówi nam, że istnieje mierzalne , zdefiniowane prawie wszędzie równoważność, tak że $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Niech być policzalny podzbiór . Ponieważ jest policzalnie addytywne, $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ . Ale $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$ dla każdego . Ze względu na właściwość Archimedesa liczb rzeczywistych, ponieważ , nierówność dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy , powodując, że

λ ({x_{ja}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{ja}, x_{ja} + 1 / k)) \leq λ ([x_{ja}, x_{ja} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$

. Z założonej absolutnej ciągłości

wynika, że

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— Zen
źródło

Ciągła zmienna losowa nie musi być absolutnie ciągła (nie może mieć gęstości).

— Zhanxiong

Bujda. „Ciągła zmienna losowa” to nieformalna nazwa dla „zmiennej losowej, która jest absolutnie ciągła w odniesieniu do miary Lebesgue'a”. Dlatego Radon-Nikodym gwarantuje istnienie gęstości. Zmienna losowa o rozkładzie pojedynczym (np. Cantor) to inna sprawa. Wprowadzasz w błąd potencjalnych studentów swoim fałszywym komentarzem.

— Zen,

Kiedy kogoś krytykujesz, pokaż cytowany cytat. Który podręcznik prawdopodobieństwa powiedział, że „ciągła zmienna losowa” jest nieformalną nazwą „zmiennej losowej, która jest absolutnie ciągła w odniesieniu do miary Lebesgue'a” ? Ponadto problem ten można rozwiązać bez wymagania gęstości

, patrz mój dowód poniżej.

X

$X$

— Zhanxiong

Wikipedia nie zgadza się z tobą, @Solitary: „ Ciągły rozkład prawdopodobieństwa jest rozkładem prawdopodobieństwa, który ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa. Matematycy nazywają taki rozkład również absolutnie ciągłym [...]”.

— ameba

jest ciągłą zmienną losową, co oznacza, że jej funkcja rozkładu jest ciągła . Jest to jedyny warunek, jaki mamy, ale z którego możemy wywnioskować, że $X$ $F$ . $P(X = x) = 0$

W rzeczywistości przez ciągłość mamy dla każdego , dlatego: $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Zhanxiong
źródło

Jeśli rozkład rv

to Cantor, wówczas jego funkcja rozkładu jest ciągła, ale

jest pojedynczą zmienną losową; nie jest to ciągła zmienna losowa.

X

$X$

X

$X$

— Zen

Mój przyjacielu, to może być kontrprzykład na twoją odpowiedź, a nie moją. Ponieważ istnieje taki ciągły rv w liczbie pojedynczej, konieczne jest rozróżnienie absolutnego ciągłego rv i pojedynczego ciągłego rv, chociaż wszystkie ich funkcje rozkładu są ciągłe. Wyrównanie ciągłego rv i absolutnego ciągłego rv jest niejednoznaczne.

— Zhanxiong

To nie jest, ale nie usłyszysz, mój przyjacielu.

— Zen

Nawiasem mówiąc, faktycznie „udowadniasz”, że jeśli

dla każdego

, to

dla każdego

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

— Zen