Niemal na pewno konwergencja nie oznacza pełnej konwergencji

Mówimy $X_1, X_2, \ldots$ zbiegają się całkowicie do $X$ jeśli dla każdego $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$.

Z lematem Borela Cantellego można łatwo udowodnić, że pełna zbieżność oznacza prawie pewną zbieżność.

Szukam przykładu, na który prawie na pewno nie udało się udowodnić zbieżności z Borel Cantelli. Jest to sekwencja zmiennych losowych, która zbiega się prawie na pewno, ale nie całkowicie.

Pozwolić $\Omega=(0,1)$ z sigma-algebrą Borela $\mathfrak{F}$ i jednolita miara $\mu$. Definiować

i $X_n(\omega)=0$Inaczej. The$X_n$ są oczywiście mierzalne w przestrzeni prawdopodobieństwa $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$.

Dla każdego $\omega\in\Omega$ i wszystkich $N \gt 1/\omega$ tak jest $X_n(\omega)=0$. Zatem z definicji sekwencja$(X_n)$ zbiega się do $0$ (nie tylko prawie na pewno!).

Jednak kiedykolwiek $0 \lt \epsilon \lt 1$, $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$skąd

co różni się do .$\infty$