Używanie filtrów Kalmana do przypisywania brakujących wartości w szeregach czasowych

12

Interesuje mnie, w jaki sposób można zastosować filtry Kalmana do przypisania brakujących wartości w danych szeregów czasowych. Czy ma to również zastosowanie, jeśli brakuje kilku kolejnych punktów czasowych? Nie mogę znaleźć dużo na ten temat. Wszelkie wyjaśnienia, komentarze i linki są mile widziane i doceniane!

data-imputation kalman-filter

— GS9
źródło

Ten post może Cię zainteresować . Podaje przykład oparty na reprezentacji w przestrzeni stanu modelu ARIMA w celu przypisania brakujących wartości za pomocą filtra Kalmana.

— javlacalle

@javlacalle dzięki, już znałem ten post i jest to świetny przykład konkretnej implementacji. Ale jestem raczej zainteresowany teoretycznym tłem.

— GS9

9

Wstęp: Filtrowanie Kalmana :

Filtry Kalmana działają na modelach w przestrzeni stanów (istnieje kilka sposobów, aby je napisać; jest to łatwy w oparciu o Durbina i Koopmana (2012) ; wszystkie poniższe są oparte na tej książce, która jest doskonała):

\begin{aligned} y_{t} & = Z α_{t} + ε_{t} & ε_{t} \sim N (0, H) \\ α_{t_{1}} & = T α_{t} + η_{t} & η_{t} \sim N (0, Q) \\ α_{1} & \sim N (a_{1}, P_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} y_t & = Z \alpha_t + \varepsilon_t \qquad & \varepsilon_t \sim N(0, H) \\ \alpha_{t_1} & = T \alpha_t + \eta_t & \eta_t \sim N(0, Q) \\ \alpha_1 & \sim N(a_1, P_1) \end{align}$

$y_t$ $\alpha_t$

$\alpha_t$ $\alpha_t$ $\alpha_t \sim N(a_t, P_t)$ $\alpha_t$ $t$

$y_t$ $\alpha_{t+1}$

\begin{aligned} a_{t + 1} & = T a_{t} + K_{t} (y_{t} - Z α_{t}) \\ P_{t + 1} & = T P_{t} (T - K_{t} Z)^{'} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t + K_t (y_t - Z \alpha_t) \\ P_{t+1} & = T P_t (T - K_t Z)' + Q \end{align}$

$K_t$

$a_{t+1}$ $P_{t+1}$ $y_t$ $y_t$

\begin{aligned} a_{t + 1} & = T a_{t} \\ P_{t + 1} & = T P_{t} T^{'} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t \\ P_{t+1} & = T P_t T' + Q \end{align}$

$\alpha_t$ $\alpha_{t+1}$

$y_t$

Dane imputujące :

$a_t, P_t$ $t = 1, 2, \dots, T$

{\hat{y}}_{t} = Z a_{t}

$\hat y_t = Z a_t$

Jeśli chodzi o odniesienie, Durbin i Koopman (2012) są doskonałe; rozdział 4.10 omawia brakujące obserwacje.

Durbin, J., i Koopman, SJ (2012). Analiza szeregów czasowych metodami przestrzeni stanów (nr 38). Oxford University Press.

— cfulton
źródło

Zastosowanie płynniejszego rozwiązania byłoby bardziej sensowne dla przypisywania (ponieważ jeden ma już wszystkie (nie brakujące) dane, dlaczego nie wykorzystać również informacji w przyszłych wartościach)

— Juho Kokkala

0

Przykład w poście, na który wskazuje javlacalle w komentarzu , pokazuje kolejne brakujące punkty czasowe. Być może zainteresują Cię również odstępy wokół wartości przypisanych (prognozowanych w próbie), których obliczenia znajdują się w niniejszym dokumencie Space State , w sekcji 2.1.

Kolejny interesujący artykuł to ten .

— Wayne
źródło