Pojęcie „średniej” wędruje znacznie szerzej niż tradycyjna średnia arytmetyczna; czy rozciąga się tak daleko, że obejmuje medianę? Przez analogię
Rysuję analogię do quasi-arytmetycznej średniej , podanej przez:
Dla porównania, gdy mówimy, że mediana zbioru danych złożonego z pięciu elementów jest równa trzeciemu elementowi, widzimy, że jest to równoznaczne z uszeregowaniem danych od jednego do pięciu (które moglibyśmy oznaczyć funkcją ); przyjmując średnią z przekształconych danych (która wynosi trzy); i odczytywanie wartości elementu danych, który miał rangę trzy (rodzaj ).
W przykładach średniej geometrycznej, średniej harmonicznej i RMS, była stałą funkcją, którą można zastosować do dowolnej liczby oddzielnie. W przeciwieństwie do tego, aby przypisać rangę lub cofnąć się od rang do oryginalnych danych (interpolując w razie potrzeby), wymagana jest znajomość całego zestawu danych. Ponadto w definicjach, które przeczytałem o średniej quasi-arytmetycznej, musi być ciągłe. Czy mediana jest kiedykolwiek uważana za szczególny przypadek średniej quasi-arytmetycznej, a jeśli tak, to w jaki sposób definiuje się ? Czy też mediana jest kiedykolwiek opisywana jako przykład jakiegoś innego szerszego pojęcia „wrednego”? Średnia quasi-arytmetyczna z pewnością nie jest jedynym dostępnym uogólnieniem.
Część problemu ma charakter terminologiczny (co i tak znaczy „znaczy”, szczególnie w przeciwieństwie do „tendencji centralnej” lub „średniej”?). Na przykład w literaturze dotyczącej systemów sterowania rozmytego funkcja agregująca jest funkcją rosnącą z F ( a , a ) = a i F ( b , b ) = b ; funkcja agregująca, dla której dla wszystkich x , y ∈ [ a , b ] nazywa się „średnią” (w sensie ogólnym). Taka definicja jest, rzecz jasna, niezwykle szeroka! I w tym kontekście mediana jest rzeczywiście określana jako rodzaj średniej. [ 1 ] Zastanawiam się jednak, czy mniej szerokie charakterystyki średniej mogą nadal rozciągać się wystarczająco daleko, aby objąć medianę - tak zwanąśrednią uogólnioną(co można lepiej opisać jako „środek mocy”), a środek Lehmera nie, ale inni mogą. Ze względu na swoją wartość Wikipedia umieszcza „medianę” na liście „innych środków” , ale bez dalszego komentarza i cytowania.
: Tak szeroka definicja średniej, odpowiednio poszerzona o więcej niż dwa dane wejściowe, wydaje się standardem w dziedzinie kontroli rozmytej i wielokrotnie pojawiała się podczas wyszukiwania w Internecie przypadków wystąpienia mediany opisanej jako mediana; Przytoczę np. Fodor, JC i Rudas, IJ (2009), „O niektórych klasach funkcji agregacyjnych migrujących”,IFSA / EUSFLAT Conf. (str. 653–656). Nawiasem mówiąc, w tym dokumencie zauważono, że jednym z pierwszych użytkowników terminu „średnia” (moyenne) byłoCauchy, w Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, 1ère partie; Przeanalizuj algébrique (1821). Późniejsze wypowiedziAczél,Chisini,Kołmogorow i de Finetti w opracowywaniu bardziej ogólnych pojęć „średnia” niż Cauchy są uznani w Fodor, J. i Roubens, M. (1995), „ O sensie środków ”, Journal of Computational and Applied Mathematics , 64 (1) , 103–115.