Intuicja dla wyższych momentów w statystykach kołowych

W statystykach kołowych wartość oczekiwaną zmiennej losowej o wartościach w kole definiuje się jako (patrz wikipedia ). Jest to bardzo naturalna definicja, podobnie jak definicja wariancji Nie potrzebowaliśmy więc drugiego momentu, aby zdefiniować wariancję! $Z$ $S$

m_{1} (Z) = \int_{S} z P^{Z} (θ) d θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V a r (Z) = 1 - | m_{1} (Z) | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

Niemniej jednak definiujemy wyższe momenty Przyznaję, że na pierwszy rzut oka wygląda to dość naturalnie i jest bardzo podobne do definicji w statystyce liniowej. Ale nadal czuję się trochę nieswojo i mam następujące zdanie

m_{n} (Z) = \int_{S} z^{n} P^{Z} (θ) d θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Pytania:

1. Co mierzy się w wyższych momentach określonych powyżej (intuicyjnie)? Jakie właściwości rozkładu charakteryzują ich momenty?

2. W obliczeniach wyższych momentów używamy mnożenia liczb zespolonych, chociaż myślimy o wartościach naszych zmiennych losowych jedynie jako wektory w płaszczyźnie lub jako kąty. Wiem, że mnożenie złożone jest w tym przypadku zasadniczo dodawaniem kątów, ale nadal: Dlaczego mnożenie złożone jest znaczącą operacją dla danych cyklicznych?

— Rasmus
źródło

$P^Z$ $Z$ $1$ $Z$ $[0,2\pi)$

Jeśli chodzi o twoje drugie pytanie, myślę, że już odpowiedziałeś: „mnożenie złożone jest w tym przypadku zasadniczo dodawaniem kątów”.

— Mark Meckes
źródło

Dziękuję, to jest naprawdę pomocne. (Wstyd mi, że nie rozpoznałem serii Fouriera, nawet gdy pędzę w jej kierunku ...)

— Rasmus

Czy to oznacza, że momenty rozkładu kołowego należy porównywać raczej z funkcją charakterystyczną rozkładu liniowego niż z jego momentami?

— Rasmus

@Rasmus: Myślę, że zależy to dokładnie od tego, co chcesz zrobić z informacjami, ale ogólnie powiedziałbym, że tak.

— Mark Meckes,