Jak zdefiniować rozkład tak, aby czerpał z niego korelację z losowaniem z innego wcześniej określonego rozkładu?

Jak zdefiniować rozkład zmiennej losowej tak, że losowanie z ma korelację z , gdzie jest pojedynczym losowaniem z rozkładu z funkcją rozkładu skumulowanego ? $Y$ $Y$ $\rho$ $x_1$ $x_1$ $F_{X}(x)$

— OctaviaQ
źródło

Następujące Q są ściśle powiązane i będą interesujące: Jak wygenerować skorelowane liczby losowe (podane średnie wariancje i stopień korelacji) i wygenerować zmienną losową o określonej korelacji z istniejącą zmienną .

— gung - Przywróć Monikę

Możesz to zdefiniować za pomocą mechanizmu generowania danych. Na przykład, jeśli i $X \sim F_{X}$

Y = ρ X + \sqrt{1 - ρ^{2}} Z

$Y = \rho X + \sqrt{1 - \rho^{2}} Z$

gdzie i jest niezależne od , wtedy $Z \sim F_{X}$ $X$

c o v (X, Y) = c o v (X, ρ X) = ρ \cdot v a r (X)

${\rm cov}(X,Y) = {\rm cov}(X, \rho X) = \rho \cdot {\rm var}(X)$

Również zauważyć, że , ponieważ jest taki sam jak rozkład . W związku z tym, ${\rm var}(Y) = {\rm var}(X)$ $Z$ $X$

c o r (X, Y) = \frac{c o v (X, Y)}{\sqrt{v a r (X)^{2}}} = ρ

${\rm cor}(X,Y) = \frac{ {\rm cov}(X,Y) }{ \sqrt{ {\rm var}(X)^{2} } } = \rho$

Więc jeśli można wygenerować dane z , można wygenerować variate, , który ma określoną korelację z . Należy jednak zauważyć, że krańcowy rozkład będzie w szczególnym przypadku, gdy jest rozkładem normalnym (lub innym rozkładem addytywnym). Wynika to z faktu, że sumy zmiennych normalnie rozłożonych są normalne; nie jest to ogólna właściwość dystrybucji. W ogólnym przypadku będziesz musiał obliczyć rozkład , obliczając (odpowiednio skalowane) splot gęstości odpowiadający $F_{X}$ $Y$ $(\rho)$ $X$ $Y$ $F_{X}$ $F_{X}$ $Y$ z samym sobą. $F_{X}$

— Makro
źródło

+1 Bardzo ładna odpowiedź. Nitpick: w ostatnim wierszu trzeba convolve skalowane wersje z

F_{X}

$F_X$

— whuber

Wielkie dzięki, Makro. Żeby coś wyjaśnić - masz na myśli w ostatnim akapicie, że musiałbyś splot rho * X z sqrt (1 - rho ^ 2) * X? (przepraszam, nie udało mi się uzyskać żadnego formatowania, nawet HTML do pracy w tym konkretnym komentarzu)

— OctaviaQ

ρ X

$\rho X$

\sqrt{1 - ρ^{2}} X

$\sqrt{1 - \rho^{2}} X$

Dawno, ale ... pomysły, jak to zrobić, wymuszając również marginalną dystrybucję Y?

— Julián Urbano