Pomóż mi zrozumieć skorygowany iloraz szans w regresji logistycznej

Z trudem próbuję zrozumieć zastosowanie regresji logistycznej w pracy. Artykuł dostępny tutaj wykorzystuje regresję logistyczną do przewidywania prawdopodobieństwa powikłań podczas operacji zaćmy.

To, co mnie dezorientuje, to fakt, że artykuł przedstawia model, który przypisuje iloraz szans 1 do linii bazowej opisanej następująco:

Pacjenta, którego profil ryzyka był w grupie odniesienia dla wszystkich wskaźników ryzyka (tj. Skorygowany OR = 1,00 dla wszystkich w tabeli 1), można uznać za posiadający „wyjściowy profil ryzyka”, a model regresji logistycznej wskazuje „przewidywane prawdopodobieństwo wyjściowe” dla PCR lub VL lub obu = 0,736%.

Prawdopodobieństwo 0,00736 przedstawiono przy ilorazie szans równym 1. Na podstawie transformacji z prawdopodobieństwa na iloraz szans: , nie może to być równe 1: . $o=\frac{p}{1-p}$ $0.00741=\frac{0.00736}{1-0.00736}$

Robi się to jeszcze bardziej mylące. Złożony iloraz szans, który reprezentuje wiele zmiennych towarzyszących o wartościach innych niż poziom podstawowy, stosuje się do obliczenia przewidywanego ryzyka.

... złożony OR z tabeli 1 wyniósłby 1,28 x 1,58 x 2,99 x 2,46 x 1,45 x 1,60 = 34,5, a z wykresu na rycinie 1 widzimy, że ta OR odpowiada przewidywanemu prawdopodobieństwu PCR lub VL lub obu około 20%

Jedynym sposobem na uzyskanie wartości podanych w artykule jako przykładów jest pomnożenie wyjściowego prawdopodobieństwa przez złożone kursy takie jak to: . $0.2025=\frac{(34.50\ \times\ 0.00736)}{1\ +\ (34.50\ \times\ 0.00736)}$

Więc co tu się dzieje? Jaka jest logika przypisywania ilorazu szans 1 do wyjściowego prawdopodobieństwa, które nie jest równe 0,5? Formuła aktualizacji, którą wymyśliłem powyżej, zawiera odpowiednie prawdopodobieństwa dla przykładów w artykule, ale nie jest to bezpośrednie zwielokrotnienie ilorazu szans. Co to jest?

logistic odds-ratio

— Mahonya
źródło

Możesz mieć proste zamieszanie co do terminologii: to iloraz szans , a nie iloraz szans. Iloraz szans to podział jednego takiego wyrażenia na drugi.

p / (1 - p)

$p/(1-p)$

— whuber

Kursy są sposobem na wyrażenie szans. Stosunki szans są takie: jeden kurs podzielony przez drugi. Oznacza to, że iloraz szans jest pomnożony przez jeden kurs, aby uzyskać inny. Zobaczmy, jak działają w tej wspólnej sytuacji.

Przeliczanie szans i prawdopodobieństw

$Y$ $1$ $\Pr(Y=1)$ $0$ $\Pr(Y=0)$

Odds (Y) = \frac{Pr (Y = 1)}{Pr (Y = 0)} = \frac{Pr (Y = 1)}{1 - Pr (Y = 1)} .

$\text{Odds}(Y) = \frac{\Pr(Y=1)}{\Pr(Y=0)} = \frac{\Pr(Y=1)}{1 - \Pr(Y=1)}.$

Równoważne wyrażenie po prawej stronie pokazuje, że wystarczy model aby znaleźć szanse. I odwrotnie, pamiętaj, że możemy rozwiązać $\Pr(Y=1)$

Pr (Y = 1) = \frac{Odds (Y)}{1 + Odds (Y)} = 1 - \frac{1}{1 + Odds (Y)} .

$\Pr(Y=1) = \frac{\text{Odds}(Y)}{1 + \text{Odds}(Y)} = 1 - \frac{1}{1 + \text{Odds}(Y)}.$

Regresja logistyczna

Regresja logistyczna modeluje logarytm szansy jako liniowej funkcji zmiennych objaśniających. , pisząc te zmienne jako i włączając możliwy stały wyraz w funkcji liniowej, możemy nazwać współczynniki (które należy oszacować na podstawie danych) jako i . Formalnie tworzy to model $Y$ $x_1, \ldots, x_p$ $\beta_1,\ldots, \beta_p$ $\beta_0$

\log (Odds (Y)) = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p} .

$\log\left(\text{Odds}(Y)\right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p.$

Same szanse można odzyskać, cofając logarytm:

Odds (Y) = \exp (β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p}) .

$\text{Odds}(Y) = \exp(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p).$

Korzystanie ze zmiennych jakościowych

Zmienne kategorialne, takie jak grupa wiekowa, płeć, obecność jaskry itp. , Włącza się za pomocą „kodowania zastępczego”. Aby pokazać, że sposób kodowania zmiennej nie ma znaczenia, przedstawię prosty przykład jednej małej grupy; uogólnienie na wiele grup powinno być oczywiste. W tym badaniu jedną zmienną jest „wielkość źrenicy” z trzema kategoriami: „Duża”, „Średnia” i „Mała”. (Badanie traktuje je jako czysto kategoryczne, najwyraźniej nie zwracając uwagi na ich naturalną kolejność.) Intuicyjnie, każda kategoria ma swoje własne szanse, powiedz dla „Large”, dla „Medium” i dla „Small” . Oznacza to, że wszystkie inne rzeczy są równe, $\alpha_L$ $\alpha_M$ $\alpha_S$

Odds (Y) = \exp (α_{L} + β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p})

$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_L + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$

dla każdego w kategorii „Duża”,

Odds (Y) = \exp (α_{M} + β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p})

$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_M + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$

dla każdego w kategorii „Medium” oraz

Odds (Y) = \exp (α_{S} + β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p})

$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_S + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$

dla osób z kategorii „Małe”.

Tworzenie możliwych do zidentyfikowania współczynników

Pokolorowałem pierwsze dwa współczynniki, aby je podświetlić, ponieważ chcę, abyście zauważyli, że pozwalają one na prostą zmianę: możemy wybrać dowolną liczbę , dodając ją do i odejmując od każdego z , i , nie zmienilibyśmy żadnych przewidywanych szans. Wynika to z oczywistych równoważników formy $\gamma$ $\beta_0$ $\alpha_L$ $\alpha_M$ $\alpha_S$

α_{L} + β_{0} = (α_{L} - γ) + (γ + β_{0}),

$\alpha_L + \beta_0 = (\alpha_L - \gamma) + (\gamma + \beta_0 ),$

itp. Chociaż nie stanowi to problemu dla modelu - nadal przewiduje dokładnie te same rzeczy - pokazuje, że parametry same w sobie nie są interpretowalne. Po wykonaniu tego manewru dodawania i odejmowania pozostają te same różnice między współczynnikami. Konwencjonalnie, aby zaradzić temu brakowi identyfikowalności, ludzie (i domyślnie oprogramowanie) wybierają jedną z kategorii w każdej zmiennej jako „podstawową” lub „referencyjną” i po prostu zastrzegają, że jej współczynnik wyniesie zero. To usuwa dwuznaczność.

W artykule wymieniono najpierw kategorie referencyjne; „Duży” w tym przypadku. Tak więc jest odejmowane od każdego z i i dodawane do celu kompensacji. $\alpha_L$ $\alpha_L, \alpha_M,$ $\alpha_S$ $\beta_0$

szanse dla hipotetycznej osoby do wszystkich podstawowych kategorii zatem plus kilka terminów związanych ze wszystkimi innymi „zmiennymi towarzyszącymi” - zmiennymi : $\beta_0$

Odds(Base category) = \exp (β_{0} + β_{1} X_{1} + \dots + β_{p} X_{p}) .

$\text{Odds(Base category)} = \exp(\beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \beta_p X_p).$

Nie pojawiają się tutaj terminy związane z żadnymi zmiennymi kategorialnymi. (W tym momencie nieznacznie zmieniłem notację: beta są teraz współczynnikami tylko zmiennych towarzyszących , podczas gdy pełny model zawiera dla różnych kategorii). $\beta_i$ $\alpha_j$

Porównywanie szans

Porównajmy szanse. Załóżmy, że hipotetyczna osoba to

mężczyzna w wieku 80–89 lat z białą zaćmą, bez widocznego widoku i małym uczniem operowanym przez specjalistę ...

Z tym pacjentem (nazwijmy go Charlie) związane są szacunkowe współczynniki dla każdej kategorii: dla jego grupy wiekowej, za bycie mężczyzną i tak dalej. Wszędzie tam, gdzie jego atrybut jest podstawą dla jego kategorii, zgodnie z konwencją współczynnik wynosi zero , jak widzieliśmy. Ponieważ jest to model liniowy, współczynniki się dodają. Tak więc, do podanych powyżej podstawowych logarytmicznych szans logarytmicznych dla tego pacjenta uzyskuje się przez dodanie $\alpha_\text{80-89}$ $\alpha_\text{male}$

α_{80-89} + α_{male} + α_{no Glaucoma} + \dots + α_{specialist registrar} .

$\alpha_\text{80-89}+\alpha_\text{male}+\alpha_\text{no Glaucoma}+ \cdots + \alpha_\text{specialist registrar}.$

Jest to dokładnie kwota, o którą dzienne szanse tego pacjenta różnią się od podstawy. Aby przeliczyć z logarytmów, cofnij logarytm i przypomnij sobie, że zamienia to dodawanie w mnożenie. Dlatego kurs podstawowy należy pomnożyć

\exp (α_{80-89}) \exp (α_{male}) \exp (α_{no Glaucoma}) \dots \exp (α_{specialist registrar}) .

$\exp(\alpha_\text{80-89})\exp(\alpha_\text{male})\exp(\alpha_\text{no Glaucoma}) \cdots \exp(\alpha_\text{specialist registrar}).$

Są to liczby podane w tabeli pod „Skorygowanym OR” (skorygowany iloraz szans). (Nazywa się to „skorygowane”, ponieważ w modelu uwzględniono zmienne towarzyszące . Nie odgrywają one żadnej roli w żadnym z naszych obliczeń, jak się przekonacie. Nazywa się to „współczynnikiem”, ponieważ jest to dokładnie które podstawowe szanse należy pomnożyć, aby uzyskać przewidywane szanse pacjenta: patrz pierwszy akapit tego postu.) W tabeli są to: , , i tak dalej. Zgodnie z artykułem ich produkt działa do . W związku z tym $x_1, \ldots, x_p$ $\exp(\alpha_\text{80-89})=1.58$ $\exp(\alpha_\text{male})=1.28$ $\exp(\alpha_\text{no Glaucoma})=1.00$ $34.5$

Odds(Charlie) = 34.5 \times Odds(Base) .

$\text{Odds(Charlie)} = 34.5\times \text{Odds(Base)}.$

(Zauważ, że wszystkie kategorie podstawowe mają iloraz szans , ponieważ włączenie do produktu pozostawia niezmienione. W ten sposób możesz dostrzec kategorie podstawowe w tabeli.) $1.00=\exp(0)$ $1$

Przekształcenie wyników jako prawdopodobieństwa

Na koniec przekonwertujmy ten wynik na prawdopodobieństwa. Powiedziano nam, że przewidywane prawdopodobieństwo wynosi . Dlatego korzystając ze wzorów odnoszących się do szans i prawdopodobieństw wyprowadzonych na wstępie, możemy obliczyć $0.736\%=0.00736$

Odds(Base) = \frac{0.00736}{1 - 0.00736} = 0.00741.

$\text{Odds(Base)} = \frac{0.00736}{1 - 0.00736} = 0.00741.$

W związku z tym szanse Charliego są

Odds(Charlie) = 34.5 \times 0.00741 = 0.256.

$\text{Odds(Charlie)} = 34.5\times 0.00741 = 0.256.$

Wreszcie, przekształcenie tego z powrotem w prawdopodobieństwa daje

Pr (Y (Charlie) = 1) = 1 - \frac{1}{1 + 0.256} = 0.204.

$\Pr(Y(\text{Charlie})=1) = 1 - \frac{1}{1 + 0.256} = 0.204.$

— Whuber
źródło

whuber: dotarcie do mojego komputera po bardzo męczącym poprzednim dniu i znalezienie tej niezwykłej odpowiedzi jest po prostu genialne. Bardzo mi pomogłeś w bardzo trudnej sytuacji. Wielkie dzięki. (jakoś @ whuber się nie pojawi ...)

— mahonya