Oczekiwanie na produkty wyższego rzędu o normalnych rozkładach

Mam dwie normalnie rozmieszczone zmienne i ze średnią zerową i macierzą kowariancji . Jestem zainteresowany próbą obliczenia wartości w kategoriach wpisów . $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

Użyłem prawa całkowitego prawdopodobieństwa, aby uzyskać ale nie jestem pewien, do czego sprowadza się wewnętrzne oczekiwanie. Czy jest tu inna metoda? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Dzięki.

Edycja: Zmienne są również normalnie rozmieszczone na wielu odmianach.

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
źródło

Czy i korzystają z dwuwymiarowego rozkładu normalnego? (Samo stwierdzenie, że i są normalne z macierzą kowariancji nie wystarcza do wyciągnięcia wniosku, że rozkład połączeń jest normalny dla dwóch zmiennych).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Dilip Sarwate,

Dla konkretnego zastosowania, o którym myślę, i mają dwuwymiarowy rozkład normalny, według wielowymiarowego centralnego twierdzenia o granicy. Zapomniałem wspomnieć o tym w moim oryginalnym poście.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK

@AGK, jeśli chcesz wyjaśnić swój post, dostępny jest przycisk „edytuj”, który umożliwia wprowadzanie zmian. To lepiej dla przyszłych czytelników, którzy nie będą musieli szukać kluczowych informacji w komentarzach pod pytaniem.

— Silverfish,

Oczekiwanie jest oczywiście proporcjonalne do iloczynu kwadratowych czynników skali . Stałą proporcjonalności uzyskuje się poprzez standaryzację zmiennych, co redukuje do macierzy korelacji za pomocą korelacji . $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

Zakładając dwuwymiarową normalność, to zgodnie z analizą na https://stats.stackexchange.com/a/71303 możemy zmienić zmienne na

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

gdzie ma standardowy (nieskorelowany) dwuwymiarowy Rozkład normalny i potrzebujemy tylko obliczeń $(X,Y)$

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

gdzie dokładna wartość stałej nie ma znaczenia. ( jest wartością resztkową po regresji stosunku do .) Korzystanie z jednoznacznych oczekiwań dla standardowego rozkładu normalnego $c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

i zauważając, że i są niezależnymi wydajnościami $X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

Pomnożenie tego przez daje $\sigma_{11}\sigma_{22}$

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

Ta sama metoda ma zastosowanie do znalezienia oczekiwanego dowolnego wielomianu w , ponieważ staje się on wielomianem w i że po spienieniu, jest wielomianem w niezależnym rozkładzie normalnym zmiennych i . Od $(X_1,X_2)$ $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

dla całki (przy wszystkich nieparzystych momentach równych zeru przez symetrię) możemy wyprowadzić $k\ge 0$

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(przy wszystkich innych oczekiwaniach dotyczących monomialów równych zero). Jest to proporcjonalne do funkcji hipergeometrycznej (prawie z definicji: manipulacje nie są głębokie ani pouczające),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

Czas funkcji hipergeometrycznej jest postrzegany jako multiplikatywna poprawka dla niezerowych . $\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— Whuber
źródło

Dzięki za szczegółową odpowiedź! Myślę również o powiązanych pytaniach z innymi wielomianami, więc jest to naprawdę pomocne ramy. To bardzo sprytna transformacja, której wcześniej nie widziałem. Fajne!

— AGK

Aby wspomóc twoje dochodzenie, podałem szczegóły dotyczące ogólnych wielomianów. Kiedy pisałem tę odpowiedź, byłem rozbawiony, gdy zdałem sobie sprawę, że nauczyłem się tej transformacji z podręcznika statystyk podstawowych Friedmana, Pisaniego i Purvesa: uczymy tego studentów pierwszego roku!

— whuber