Rozwiązanie do ćwiczenia 2.2a.16 „Solidnych statystyk: podejście oparte na funkcjach wpływu”

Na stronie 180 szczegółowych statystyk: Podejście oparte na funkcjach wpływu można znaleźć następujące pytanie:

16: Pokaż, że zawsze dla estymatorów niezmienniczych dla lokalizacji $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ . Znajdź odpowiednią górną granicę w punkcie podziału próby skończonej $\varepsilon^*_n$ , zarówno w przypadku, gdy $n$ jest nieparzysty lub $n$ jest parzysty.

Druga część (po kropce) jest właściwie trywialna (biorąc pod uwagę pierwszą), ale nie mogę znaleźć sposobu na udowodnienie pierwszej części (zdania) pytania.

W części książki dotyczącej tego pytania znajduje się (str. 98):

Definicja 2: Punkt podziału próby skończonej $\varepsilon^*_n$ estymatora $T_n$ na próbce $(x_l,\ldots, x_n)$ jest dany przez:

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
gdzie próbka $(z_1,\ldots,z_n)$ jest uzyskiwana przez zastąpienie $m$ punktów danych $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ dowolnymi wartościami $y_1,\ldots,y_m.$

Formalna definicja samego $\varepsilon^*$ działa na prawie stronie, ale można go traktować jako

ε^{*} = lim_{n \to \infty} ε_{n}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$ Chociaż nie jest wyraźnie zdefiniowany, jeden może zgadnąć, że niezmiennik lokalizacji oznacza, że

T_{n}

$T_n$ musi spełniać

T_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = T_{n} (x_{1} + c, \dots, x_{n} + c), for all c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

Ja (próbuję) odpowiedzieć na pytanie Whubera w komentarzu poniżej. Książka określa estymator ma kilka stron, poczynając od str. 82, staram się odtworzyć główne części (myślę, że odpowie na pytanie Whubera): $T_n$

Załóżmy, że mamy obserwacje jednowymiarowe które są niezależne i identycznie rozmieszczone (iid). Obserwacje należą do pewnej przykładowej przestrzeni , która jest podzbiorem rzeczywistej linii (często po prostu równa się samej , więc obserwacje mogą przyjmować dowolną wartość ). Model parametryczny składa się z rodziny rozkładów prawdopodobieństwa , w przestrzeni próbki, gdzie nieznany parametr należy do jakiejś przestrzeni parametrów $(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

Identyfikujemy próbkę z jej rozkładem empirycznym , ignorując sekwencję obserwacji (jak prawie zawsze się to robi). Formalnie jest wyrażony przez gdzie , masa pkt 1 . Jako estymatory bierzemy pod uwagę statystyki o wartościach rzeczywistych . W szerszym sensie estymator może być postrzegany jako sekwencja statystyk , po jednej dla każdej możliwej wielkości próby . Idealnie, obserwacje są przedstawione zgodnie z członkiem modelu parametrycznego $(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ , ale klasa wszystkich możliwych rozkładów prawdopodobieństwa na jest znacznie większa. $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

Rozważamy estymatory, które są funkcjonałami [tj. dla wszystkich i ] lub mogą być asymptotycznie zastąpione funkcjami. Oznacza to, że zakładamy, że istnieje funkcjonalny [gdzie domena jest zbiorem wszystkich dystrybucji dla którego zdefiniowano ], tak że prawdopodobne, gdy obserwacje są zgodne z rzeczywistym rozkładem w . Mówimy, że $T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} T (G)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ jest asymptotyczna wartość o . $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

W tym rozdziale zawsze zakładamy, że badane funkcjonały są spójne z Fisherem (Kallianpur i Rao, 1955): co oznacza, że model estymatora asymptotycznie mierzy odpowiednią ilość. Pojęcie spójności Fishera jest bardziej odpowiednie i eleganckie dla funkcjonałów niż zwykła spójność lub asymptotyczna bezstronność.
$T (F_{θ}) = θ for all θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— użytkownik603
źródło

Jak dokładnie ta książka definiuje „estymator”? Wydaje mi się, że każdy ograniczony estymator musi mieć punkt podziału , więc na pewno nakłada on pewne specjalne ograniczenia na ; i zawsze istnieją ograniczone estymatory niezmiennicze lokalizacji (będą obejmowały stałe).

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

— whuber

Dziękujemy za rozwinięty materiał. Nadal wydaje się, że istnieje wiele kontrprzykładów. Prostym jest estymator stały dla jednoparametrowej rodziny rozkładów normalnych wariancji . Jest to niezmienny estymator wariancji. Punkt podziału wynosi . Jest spójny z Fisherem (trywialnie), ale muszę ostrożnie interpretować definicję: „ ” niekoniecznie musi odnosić się do wszystkich parametrów, ponieważ wówczas żaden estymator niezmiennik lokalizacji nie mógłby być spójny!

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

— whuber

@whuber: Dzięki, rozumiem twój kontrprzykład. Myślę, że skontaktuję się z autorem i poproszę o więcej informacji ...

— user603

W starszych książkach statystycznych użyto „niezmiennika” w nieco inny sposób niż można by się spodziewać; niejednoznaczna terminologia się utrzymuje. Nowocześniejszym odpowiednikiem jest „ekwiwariant” (patrz odniesienia na końcu tego postu). W obecnym kontekście oznacza to

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

dla wszystkich prawdziwych . $c$

Aby odpowiedzieć na to pytanie, załóżmy, że ma właściwość, która dla wystarczająco dużych , wszystkich rzeczywistych i wszystkich , $T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

ilekroć różni się od najwyżej we współrzędnych co najwyżej . $\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

(Jest to warunek słabszy niż zakładano w definicji granicy podziału. W rzeczywistości wszystko, co naprawdę musimy założyć, to że gdy jest wystarczająco duże, wyrażenie „ ” ma pewną wartość gwarantowaną mniejszą niż ) $n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

Dowodem jest sprzeczność. Załóżmy odpowiednio, że ten jest również równoważny i załóżmy, że . Zatem dla odpowiednio dużego , jest liczbą całkowitą, dla której zarówno i . Dla dowolnych liczb rzeczywistych zdefiniuj $T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

gdy istnieją 'S ' S. Zmieniając lub mniej współrzędnych, wnioskujemy oba $m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

Dla zapewnia się nierówność trójkąta $c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

Ścisła nierówność na przedostatniej linii jest zapewniona dla wystarczająco dużego . Sprzeczność, którą implikuje, , dowodzi $n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

Bibliografia

EL Lehmann, Teoria szacowania punktów . John Wiley 1983.

W tekście (rozdział 3, sekcja 1) i towarzyszącym przypisie pisze Lehmann

Estymator spełniający dla wszystkich będzie nazywany ekwiwariantem ... $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

Niektórzy autorzy nazywają takie estymatory „niezmiennikiem”. Ponieważ sugeruje to, że estymator pozostaje niezmieniony pod , wydaje , że lepiej zarezerwować ten termin dla funkcji spełniających dla wszystkich . $X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— Whuber
źródło

tak, skontaktowałem się wczoraj z głównym autorem książki z tym samym pytaniem o faktyczną definicję użytej niezmienniczości (zajrzałem do indeksu i nie mogłem znaleźć go wyraźnie w książce). Głosowałem za tym, ponieważ uważam, że twoja odpowiedź jest prawidłowa, ale da autorowi kilka dni na upewnienie się przed zaakceptowaniem.

— user603

Nie otrzymałem odpowiedzi od autora, ale argumenty przedstawione powyżej (w odpowiedzi i komentarzu) przekonały mnie, że rzeczywiście musi to być prawidłowa interpretacja problemu.

— user603