Jak znaleźć gdy jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa?

Jak mogę to rozwiązać? Potrzebuję równań pośrednich. Być może odpowiedź brzmi . $-tf(x)$

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ to funkcja gęstości prawdopodobieństwa.

To znaczy, i $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

źródło: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf str.40

Wypróbuj poniższe równania pośrednie:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Hiroaki Machida
źródło

Czy masz na myśli ? Być możeA może masz na myśli ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Henry

Użyj fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego

— Henry

Rozważ prymitywne z , a następnie jest łatwe do wyprowadzenia.

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Stéphane Laurent,

Dodaj self-studytag i przeczytaj jego wiki wiki .

— Glen_b

Jeśli przygotowujesz się do egzaminu, nie musisz dać pełnego rozwiązania. Pytania do samodzielnej nauki mają na celu nakłonienie osoby zadającej pytanie do samodzielnego rozwiązania problemu.

— Xi'an,

Odpowiedzi:

Z definicji pochodna ( jeśli istnieje ) jest granicą ilorazu różnicy

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

jako . $h\to 0$

Zakładając, że jest ciągłe w przedziale dla wystarczająco małych , będzie również ciągłe w tym przedziale. Następnie Twierdzenie Lagrange'a utrzymuje istnieją pewne pomiędzy i , dla którego $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Jako , koniecznie , a ciągłość pobliżu oznacza, że lewa strona ma granicę równą . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(Miło jest zobaczyć, że ta analiza nie wymaga uzasadnienia na temat istnienia oryginalnej niepoprawnej całki .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

Jednak nawet jeśli rozkład ma gęstość , gęstość ta nie musi być ciągła. W punktach nieciągłości iloraz różnic będzie miał różne granice lewy i prawy: pochodna tam nie istnieje. $f$

Nie jest to kwestia, którą można odrzucić jako tajemniczą „patologię” matematyczną, którą praktykujący mogą zignorować. Pliki PDF wielu popularnych i przydatnych dystrybucji mają punkty nieciągłości. Na przykład dystrybucja Uniform ma nieciągły plik PDF w punktach i ; rozkład gamma ma nieciągły plik PDF o wartości gdy (który obejmuje wszechobecny rozkład wykładniczy i niektóre rozkłady ); i tak dalej. Dlatego ważne jest, aby nie twierdzić, bez dokładnych kwalifikacji, że odpowiedź brzmi jedynie : to byłby błąd. $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— Whuber
źródło

Bardzo mały dodatek: Istnieją przypadki, w których całka jest rozróżnialna, nawet jeśli nie jest ciągłe. Niech dla oraz dla oraz dla . Następnie w pobliżu 0, dla i 0 dla , co jest doskonale różnicowalne przy .

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— Alex R.

@Alex Blisko , , a nie 2/2 . Rozważ podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego.

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

Przepraszam za zamieszanie! Definiuję .

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Alex R.

@Alex Twój integrand jest ciągły w pobliżu zera, więc nie widzę, jaki przykład prezentujesz lub co pokazuje.

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

Wielkie wyprowadzenie (+1) - może nie być nic warte, że ten wynik jest przypadkiem reguły integralnej Leibniza .

— Ben - Przywróć Monikę

Rozwiązany...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Dziękuję wam wszystkim!!!

— Hiroaki Machida
źródło

Co to jest funkcja ? Dlaczego pochodna wynosi 0?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— Vladislavs Dovgalecs