Mediana bezwzględnego odchylenia (MAD) i SD dla różnych rozkładów

Dla normalnie rozłożonych danych odchylenie standardowe i mediana odchylenia bezwzględnego MAD są powiązane przez:$\sigma$$\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

gdzie jest funkcją skumulowanego rozkładu standardowego rozkładu normalnego.$\Phi()$

Czy istnieje podobny związek dla innych dystrybucji?

Aby odpowiedzieć na pytanie w komentarzach:

Chciałbym wiedzieć, czy istnieje możliwy zakres wartości stałej

(Zakładam, że pytanie ma dotyczyć mediany odchylenia od mediany).

1. Stosunek SD do MAD może być dowolnie duży.

   Weź rozkład z danym stosunkiem SD do MAD. Przytrzymaj środkową rozkładu na stałym poziomie (co oznacza, że ​​MAD pozostaje niezmieniony). Przesuń ogony dalej. SD rośnie. Kontynuuj przesuwanie go poza jakąkolwiek skończoną granicę.$50\%+\epsilon$

2. Stosunek SD do MAD można łatwo ustalić tak blisko zgodnie z życzeniem (przykładowo) przez ustawienie25%+ϵna±1i50%-2ϵna 0.$\sqrt{\frac{1}{2}}$$25\%+\epsilon$$\pm 1$$50\%-2\epsilon$

   Myślę, że byłoby to tak małe, jak to możliwe.

Dla dowolnego rozkładu o gęstości $f(x;\theta)$, mediana bezwzględnego odchylenia jest podana przez $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ gdzie $G_\theta$ to cdf z $|X-\text{MED}_\theta|$ i $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ gdzie $F_\theta$ to cdf z $X$.

1. W przypadkach, gdy $\theta=\sigma$tzn. gdy odchylenie standardowe jest jedynym parametrem, $\text{MAD}_\theta$ jest zatem funkcją deterministyczną $\sigma$.
2. W przypadkach, gdy $\theta=(\mu,\sigma)$ i $\mu$ jest parametrem lokalizacji, tzn. kiedy $$f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$$ Następnie dystrybucja $|X-\text{MED}_\theta|$ jest taki sam jak rozkład $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$, and hence is independent from $\mu$. Therefore $G_\theta$ only depends on $\sigma$ and $\text{MAD}_\theta$ is again a deterministic function of $\sigma$.