Generuj symetryczną dodatnią określoną macierz z wcześniej określonym wzorcem sparsity

Próbuję wygenerować macierz korelacji $p\times p$ (symetryczny psd) z wcześniej określoną strukturą sparsity (określoną przez wykres na $p$węzły). Węzły połączone na wykresie mają korelację$\rho \sim U(0,1)$, reszta to 0, a przekątna to 1.

Próbowałem wygenerować tę macierz kilka razy, ale rzadko otrzymuję prawidłową macierz korelacji.

Czy istnieje sposób, aby zapewnić whp macierzy korelacji? Zauważ, że mogę mieć tylko dodatnią korelację$\rho \sim U(-1,1)$ itp. nie jest opcją.

Każda pomoc jest mile widziana!

Zamknij, ale nie cygaro dla @Rodrigo de Azevedo.

Rozwiązaniem jest użycie programowania półfinałowego, aby znaleźć maksymalną wartość, $\rho_{max}$oraz minimalna wartość (z zastrzeżeniem nieujemności), $\rho_{min}$, z $\rho$tak, że macierz korelacji z zalecanym wzorem rzadkości jest dodatnia półfinałowa (psd). Wszystkie wartości$\rho$ takie, że $\rho_{max}\le \rho \le \rho_{max}$, stworzy macierze psd (ćwiczenie dla czytelnika)

Dlatego musisz albo wybrać rozkład $\rho$ który może przyjmować tylko wartości $[\rho_{max},\rho_{max}]$, lub musisz użyć akceptacji / odrzucenia i odrzucić wszelkie wygenerowane wartości $\rho$ które nie produkują macierzy psd.

Przykład matrycy 4 na 4 przy użyciu YALMIP w MATLAB

sdpvar rho % declare rho to be a scalar variable
% find maximum value of rho (by minimizing -rho) subject to prescribed matrix being psd.
optimize([1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,-rho) 
% find minimum value of rho subject to prescribed matrix being psd and rho being >= 0.
optimize([[1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,rho >= 0],rho) 

Wyniki: maksymalne rho = 0,57735, minimalne rho = 0. Zrozumiałe jest, że zero będzie minimalną wartością rho pod warunkiem, że rho będzie nieujemne, a zalecaną macierzą będzie psd, niezależnie od wzorca wymiaru lub rzadkości. Dlatego nie jest konieczne uruchamianie optymalizacji półfinałowej, aby znaleźć minimalną nieujemną wartość$\rho$.

Macierz korelacji jest symetryczna, dodatnia półfinałowa i ma $1$jest na swojej głównej przekątnej. Można znaleźć$n \times n$macierz korelacji poprzez rozwiązanie następującego programu półfinałowego (SDP), w którym funkcja celu jest dowolna, powiedzmy, funkcja zerowa

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

Jeśli ktoś ma dodatkowe ograniczenia, takie jak ograniczenia rzadkości

$$x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]$$

i ograniczenia nieujemności, $\mathrm X \geq \mathrm O_n$, a następnie rozwiązuje następujący SDP

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]\\ & \mathrm X \geq \mathrm O_n\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

---

ZA $3 \times 3$ przykład

Załóżmy, że chcemy mieć $x_{13} = 0$ i $x_{12}, x_{23} \geq 0$. Oto skrypt MATLAB + CVX ,

cvx_begin sdp

    variable X(3,3) symmetric

    minimize( trace(zeros(3,3)*X) )
    subject to

        % put ones on the main diagonal
        X(1,1)==1
        X(2,2)==1
        X(3,3)==1

        % put a zero in the northeast and southwest corners
        X(1,3)==0

        % impose nonnegativity
        X(1,2)>=0
        X(2,3)>=0

        % impose positive semidefiniteness
        X >= 0

cvx_end

Uruchamianie skryptu

Calling sedumi: 8 variables, 6 equality constraints
------------------------------------------------------------
SeDuMi 1.21 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 6, order n = 6, dim = 12, blocks = 2
nnz(A) = 8 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            3.00E+000 0.000
  1 : -1.18E-001 6.45E-001 0.000 0.2150 0.9000 0.9000   1.86  1  1  1.2E+000
  2 : -6.89E-004 2.25E-002 0.000 0.0349 0.9900 0.9900   1.52  1  1  3.5E-001
  3 : -6.48E-009 9.72E-007 0.097 0.0000 1.0000 1.0000   1.01  1  1  3.8E-006
  4 : -3.05E-010 2.15E-009 0.000 0.0022 0.9990 0.9990   1.00  1  1  1.5E-007
  5 : -2.93E-016 5.06E-015 0.000 0.0000 1.0000 1.0000   1.00  1  1  3.2E-013

iter seconds digits       c*x               b*y
  5      0.3   5.8  0.0000000000e+000 -2.9302886987e-016
|Ax-b| =  1.7e-015, [Ay-c]_+ =  6.1E-016, |x|= 2.0e+000, |y|= 1.5e-015

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
1.563E-001    2.500E-001    1.094E-001    
Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +0

Zobaczmy, jakie rozwiązanie znalazło CVX,

>> X

X =

    1.0000    0.4143         0
    0.4143    1.0000    0.4143
         0    0.4143    1.0000

Czy ta matryca jest pozytywna? Pozytywne określone?

>> rank(X)

ans =

     3

>> eigs(X)

ans =

    1.5860
    1.0000
    0.4140

Jest pozytywny określony, zgodnie z oczekiwaniami. Korzystając z niezerowej (liniowej) funkcji celu, możemy znaleźć dodatnie macierze korelacji półfinałowej.