Test na kointegrację między dwoma szeregami czasowymi przy użyciu dwuetapowej metody Engle – Grangera

Próbuję przetestować kointegrację między dwoma szeregami czasowymi. Obie serie mają tygodniowe dane obejmujące ~ 3 lata.

Próbuję wykonać metodę dwuetapową Engle-Granger. Moja kolejność operacji jest następująca.

1. Testuj każdą serię czasową pod kątem pierwiastka za pomocą Augmented Dickey-Fuller.
2. Zakładając, że oba mają pierwiastki, następnie znajdź liniowe przybliżenie relacji za pomocą OLS. Następnie utwórz serię reszt.
3. Test resztek dla pierwiastka jednostkowego za pomocą Augmented Dickey-Fuller.
4. Zakończ kointegrację (lub nie) wynikiem 3.

Pytania:

1. Czy ta metoda wygląda dobrze? (Jestem studentem i chcę analizować moje dane w uzasadniony sposób, niekoniecznie analizując je w najbardziej rygorystycznej znanej metodzie).
2. Jeśli jedna seria nie może odrzucić hipotezy zerowej z ADF (a zatem nie ma pierwiastka podstawowego) w kroku 1, czy uzasadnione jest stwierdzenie, że dwie serie nie są zintegrowane, ponieważ jeden zestaw danych jest niestacjonarny? Nie sądzę, ale chcę być pewien.
3. Oba zestawy danych wyglądają „stochastycznie”, więc zastanawiam się, czy właściwe jest użycie OLS do pomiaru relacji w celu uzyskania resztek.

Najpierw rozważmy dwie serie czasowe, i które oba są , tj. Obie serie zawierają pierwiastek jednostkowy. Jeśli te dwie serie się zintegrują, wówczas będą istniały współczynniki i takie, że: x 2 t I ( 1 ) μ β $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

określi równowagę. Aby przetestować kointegrację przy użyciu 2-etapowego podejścia Engle-Granger, zrobilibyśmy to

$\\$ 1) Przetestuj serie, i dla pierwiastków. Jeśli oba są przejdź do kroku 2). x 2 t I ( 1 $x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2) Uruchom wyżej zdefiniowane równanie regresji i zapisz resztki. Zdefiniować nową „korekcji” błędu .$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3) Przetestuj resztki ( ) dla pierwiastka jednostkowego. Należy zauważyć, że test ten jest taki sam jak test braku kointegracji, ponieważ zgodnie z hipotezą zerową reszty nie są nieruchome. Jeśli jednak dochodzi do kointegracji, resztki powinny być nieruchome. Pamiętaj, że rozkład dla rezydualnego testu ADF nie jest taki sam, jak zwykłe rozkłady DF i będzie zależeć od ilości szacowanych parametrów w regresji statycznej powyżej, ponieważ dodatkowe zmienne w regresji statycznej przesuną rozkłady DF do lewo. 5% wartości krytyczne dla jednego oszacowanego parametru w regresji statycznej ze stałą i trendem wynoszą odpowiednio -3,34 i -3,78. $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4) Jeśli odrzucisz zerowy pierwiastek jednostkowy w resztach (zerowy brak kointegracji), nie możesz odrzucić, że dwie zmienne kointegrują się. $\\$

5) Jeśli chcesz skonfigurować model korekcji błędów i zbadać długoterminową zależność między dwiema seriami, zaleciłbym raczej ustawienie modelu ADL lub ECM zamiast tego, ponieważ do Engle- dołączone jest niewielkie odchylenie próbki Granger regresji statycznej i nie możemy nic powiedzieć o znaczeniu szacowanych parametrów w regresji statycznej, ponieważ rozkład zależy od nieznanych parametrów. Aby odpowiedzieć na pytania: 1) Jak widać powyżej, metoda jest poprawna. Chciałem tylko zauważyć, że wartości krytyczne testów opartych na testach rezydualnych nie są takie same jak zwykłe wartości krytyczne testu ADF. $\\$

$\\$

$I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

$\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

$\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

$\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

$\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$x_{1t}$$I\left(0\right)$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\\$

$\\$

$\left(1\right)$$T^{-2}$$I\left(1\right)$$I\left(1\right)$