Krótki szkic ARE dla testu z jedną próbką , testu z podpisem i testu z podpisaną rangąt
Oczekuję, że długa wersja odpowiedzi @ Glen_b zawiera szczegółową analizę testu rang podpisanych dwoma próbami wraz z intuicyjnym wyjaśnieniem ARE. Więc pominę większość pochodnych. (przypadek jednej próby, brakujące dane można znaleźć w Lehmann TSH).
Problem testowy : Niech będzie losową próbką z modelu lokalizacji f ( x - θ ) , symetryczną względem zera. Mamy obliczyć ARE podpisanego testu, podpisanego testu rangi dla hipotezy H 0 : θ = 0 względem testu t.X1, … , Xnfa( x - θ )H.0: θ = 0
Aby ocenić względną wydajność testów, brane są pod uwagę tylko lokalne alternatywy, ponieważ spójne testy mają moc zmierzającą do 1 w stosunku do stałej alternatywy. Lokalne alternatywy, które powodują nietrywialną asymptotyczną moc, często mają formę dla ustalonegoh, któryw literaturzenazywa siędryftem Pitmana.θn= h / n--√h
Przed nami nasze zadanie
- znajdź rozkład graniczny każdej statystyki testowej poniżej wartości zerowej
- znaleźć rozkład graniczny każdej statystyki testu w ramach alternatywy
- obliczyć lokalną asymptotyczną moc każdego testu
Testuj statystyki i asymptotyki
- test t (biorąc pod uwagę istnienie ) t n = √σt n = √
tn= n--√X¯σ^→reN.( 0 , 1 )poniżej zera
tn= n--√X¯σ^→reN.( h / σ, 1 )pod alternatywą θ = h / n--√
- test podpisany √S.n= 1n∑ni = 11 { Xja> 0 }
√
n--√( Sn- 12)) →reN.( 0 , 14)poniżej zera
i ma lokalną moc asymptotyczną
1 - Φ ( z α - 2 h f ( 0 ) )n--√( Sn- 12)) →reN.( h f( 0 ) , 14)w ramach alternatywy
1 - Φ ( zα- 2 H F( 0 ) )
- Test zarejestrowany Stopień W n → d N ( 2 h ∫ f 2 , 1
W.n= n- 2 / 3∑i = 1nRja1 { Xja> 0 } →reN.( 0 , 13))poniżej zera
i ma lokalną moc asymptotyczną
1 - Φ ( z α - √W.n→reN.( 2 godz. ∫fa2), 13))w ramach alternatywy
1 - Φ ( zα- 12--√h ∫fa2))
Dlatego A R E ( W n ) = ( √
A R E( Sn) = ( 2 f( 0 ) σ)2)
Jeżeli
fjest standardową gęstością normalną,
ARE(Sn)=2/π,
ARE(Wn)=3/πA R E( W.n) = ( 12--√∫fa2)σ)2)
faA R E( Sn) = 2 / πA R E( W.n) = 3 / π
Jeśli jest jednolita w [-1,1] R E ( S n ) = 1 / 3 , R e ( szer n ) = 1 / 3faA R E( Sn) = 1 / 3A R E( W.n) = 1 / 3
Uwaga na temat wyprowadzenia dystrybucji w ramach alternatywy
Istnieje oczywiście wiele sposobów uzyskania ograniczającego rozkładu w ramach alternatywy. Jednym ogólnym podejściem jest użycie trzeciego lematu Le Cam. Uproszczona wersja stwierdza
ΔnW.n
( W.n, Δn) →reN.[ ( μ- σ2)/ 2) , ( σ2)W.ττσ2)/ 2) ]
W.n→reN.( μ + τ, σ2)W.)w ramach alternatywy
c o v ( Wn, Δn)Δn
Δn≈ godzn--√∑i = 1nl ( Xja) - 12)h2)ja0
lja0S.n
c o v ( n--√( Sn- 1 / 2 ) , Δn) = - h c o v ( 1 { Xja> 0 } , f′fa( Xja) ) = godz ∫∞0fa′= godz f( 0 )