Ciekawe wyprowadzenie R do kwadratu

Wiele lat temu odkryłem tę tożsamość poprzez eksperymenty z danymi i transformacjami. Po wyjaśnieniu tego mojemu profesorowi statystyki przyszedł do następnej klasy z jednostronicowym dowodem przy użyciu notacji wektorowej i macierzowej. Niestety zgubiłem papier, który mi dał. (To było w 2007 roku)

Czy ktoś jest w stanie zrekonstruować dowód?

Niech będą twoimi oryginalnymi punktami danych. Zdefiniuj nowy zestaw punktów danych, obracając oryginalny zestaw o kąt ; nazwij te punkty . $(x_i,y_i)$ $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

Wartość kwadratowa R oryginalnego zestawu punktów jest równa ujemnemu iloczynowi pochodnej w odniesieniu do logarytmu naturalnego odchylenia standardowego dla każdej współrzędnej nowego zestawu punktów, każdy obliczony przy $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
źródło

Pochodzenie nie jest szczególnie interesującym ćwiczeniem symbolicznej manipulacji. Ponieważ and

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ , a wynik następujący .

Ciekaw jestem, jak wymyśliłeś takie równanie, zwłaszcza jaki konkretny eksperyment ujawnił taką tożsamość.

— Khashaa
źródło

Dzięki! Jest to w rzeczywistości o wiele prostsze niż jego dowód, że pamiętam. Tożsamość powstała dzięki samej zabawie z danymi sprzed lat; dla kopnięć wykonuję po prostu rotacje, odchylenia standardowe, pochodne, logarytmy, dodawanie, mnożenie itd. Miałem pierwotną r ^ 2 jako linię poziomą i rysowanie dowolnej funkcji utworzonej jako funkcja theta. Czasami krzyżowali się, ale pod „dziwnymi” kątami; czasami nigdy nie przekroczył. Potem jakoś przekroczyli theta = zero. To było interesujące. Przetestowałem to z innymi losowymi danymi i nadal się utrzymuje. Nie widziałem, jak to działa, ale pomyślałem o zgrabnej tożsamości.

— sheppa28