Czy istnieją znormalizowane odpowiedniki Skośności i Kurtozy?

Jaki byłby znormalizowany odpowiednik Skośności, który miałby tę samą jednostkę co dane? Podobnie, jaki byłby znormalizowany odpowiednik Kurtozy? W idealnym przypadku funkcje te powinny być liniowe w stosunku do danych, co oznacza, że gdyby wszystkie obserwacje zostały pomnożone przez czynnik n, powstałe znormalizowane skośność i kurtoza byłyby pomnożone przez ten sam czynnik n. Korzyścią z posiadania takich znormalizowanych ekwiwalentów byłaby możliwość nakładania ich na standardowe pole z pudełkiem i wąsami.

skewness kurtosis

— Ismael Ghalimi
źródło

Co za zabawne pytanie!

— Alexis,

Nie jestem pewien, jak pouczające byłoby zilustrowanie ich na wykresach. Ilustrujemy odchylenia standardowe, ponieważ dają one naturalną miarę rozproszenia danych (jeśli są one normalnie rozłożone): 65% obserwacji znajduje się w przedziale. Nie sądzę, aby istniały takie naturalne interpretacje wizualne dla trzeciej i czwartej chwili.

— Ben Kuhn,

Co próbujesz pokazać o swoich danych? Jeśli jest to pewne jakościowe zachowanie dystrybucji, czy fabuła skrzypiec może być lepsza? Ale tak, tak czy inaczej, to zabawne pytanie.

— Ben Kuhn,

Można poczuć skośność i kurtozę, patrząc na histogram pokazujący rozkład zbioru danych, ale da to bardzo subiektywną percepcję tych miar. Chciałbym je przedstawić w dwóch skalach liniowych, jednej dla skośności równoległej do osi wykresu pudełkowego i wąsów, drugiej dla niej prostopadłej. Można to przedstawić jako osobne pole nałożone na pole podstawowe. Im wyższe pole, tym bardziej wypaczone są dane. Im szerszy, tym bardziej spiczasty (wysoka kurtoza).

— Ismael Ghalimi,

I dzięki za link do fabuły altówki. To naprawdę sprytne.

— Ismael Ghalimi,

Odpowiedzi:

Miary skośności są celowo bezjednostkowe .

Zwykła skośność momentu jest znormalizowanym trzecim momentem, $E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$ .

Jeśli wyśrodkowujesz, ale nie ustandaryzujesz, masz $\mu_3=E[(X-\mu)^3]$ ... który jest wyraźnie w jednostkach sześciennych .

Jeśli chcesz coś w tych samych jednostkach co $X$ , musisz wziąć pierwiastek sześcienny, w ten sam sposób, w jaki weźmiemy pierwiastek kwadratowy wariancji i uzyskamy coś w tych samych jednostkach oryginalnych danych. (Jednak - uważaj, ponieważ wiele pakietów nie bierze pierwiastków z liczb ujemnych, być może będziesz musiał obliczyć to jako: $\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$ .)

Nie jestem pewien, czy to będzie przydatne.

W przypadku niektórych innych miar skośności, takich jak dwie miary skośności Pearsona, wystarczy pomnożyć przez $\sigma$ .

Dla miar skosu próbki gdzie $\sigma$ i $\mu$ są ogólnie nieznane, ponieważ przy skośności próbki zwykle zastępuje się je własnymi szacunkami próbki.

Kurtosis ma ten sam wzorzec - na moment kurtosis trzeba wziąć czwarte korzenie niestandardowego czwartego momentu, aby uzyskać coś, co skaluje się z danymi.

W przypadku niektórych innych mierników kurtozy wystarczy je pomnożyć $\sigma$ .

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Skośność i kurtoza to cechy kształtu. Więc jeśli powiem ci, że przedmiot, piłka, jest okrągła, nie powinno mieć znaczenia, jaki jest promień tego przedmiotu. Może to być mała lub duża piłka . Z drugiej strony, kiedy mówię małą kulkę lub dużą kostkę, mam na myśli rozmiar przedmiotu, a nie kształt.

Pod tym względem odchylenie standardowe jest rozmiarem rozkładu, dlatego skośność i kurtoza są znormalizowane według wielkości. Można również powiedzieć, że odchylenie standardowe należy do mechaniki, a skośność i kurtoza do geometrii. Dlatego nie musimy mieć ich w jednostkach miary zmiennej. Rozmiar i kształt są osobne. Duża i mała kula są jednakowo okrągłe , tzn. Rozmiar nie ma znaczenia w tym przypadku :)

— Aksakal
źródło

Oznaczanie wektorów dystrybuowanych w regionie $R$ , załóżmy, że zero i pierwsza chwila jest już znormalizowana. Drugi moment jest obliczany za pomocą $M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$ , więc jeśli uda nam się znaleźć diagonalizację $M_2 = P\Lambda^2 P^T$ , wtedy będziemy mogli zdefiniować

x^{'} = Λ^{- 1} {P.}^{T.} x

$x'=\Lambda^{-1} P^Tx$ po to aby

M_{2}

$M_2$ jest znormalizowany:

{M.}_{2) ja jot}^{'} = \int_{R} (Λ^{- 1} {P.}^{T.} x) (Λ^{- 1} {P.}^{T.} x)^{T.} | re x |

$M'_{2ij} = \int_R {(\Lambda^{-1}P^T x)(\Lambda^{-1} P^T x)^T} |dx|$

= Λ^{- 1} {P.}^{T.} (\int_{R} x x^{T.} | re x |) P. Λ^{- 1}

$= \Lambda^{-1} P^T (\int_R { xx^T |dx|}) P \Lambda^{-1}$

= Λ^{- 1} {P.}^{T.} P. Λ^{2)} {P.}^{T.} P. Λ^{- 1} = ja

$= \Lambda^{-1} P^T P \Lambda^2 P^T P \Lambda^{-1} = I$

Geometryczne znaczenie drugiego momentu to „orientacja”, co jest uzasadnione faktem, że diagonalizacja normalizuje drugi moment. Kiedy skośność jest obliczana zgodnie z tą normalizacją, nazywa się to skośnością Mardii .

— Han JaeSeung StudentOfKyoto
źródło