27

Proces stochastyczny jest procesem, który ewoluuje w czasie, więc czy to naprawdę bardziej wymyślny sposób na powiedzenie „szeregów czasowych”?

time-series stochastic-processes definition

— Zwycięzca
źródło

10

Szeregi czasowe są procesem stochastycznym z obsługą obserwacji w czasie dyskretnym. Proces stochastyczny można obserwować w sposób ciągły. (Możliwe też, że szeregi są bardziej związane z obserwacjami i procesami stochastycznymi z przypadkowym obiektem za nimi).

— Xi'an,

„Seria” implikuje dyskretną lub skończoną naturę, w przeciwieństwie do potencjalnie ciągłej natury „procesu”.

— Aksakal,

7

Proces stochastyczny nie musi ewoluować w czasie; to może być stacjonarne. Moim zdaniem różnica między procesem stochastycznym a szeregami czasowymi wynika z punktu widzenia. Proces stochastyczny to zbiór zmiennych losowych, zaś szereg czasowy to zbiór liczb lub realizacja lub ścieżka próbki procesu stochastycznego. Przy dodatkowych założeniach dotyczących procesu możemy chcieć wykorzystać histogram wartości liczb szeregów czasowych jako oszacowanie wspólnej gęstości (lub funkcji masy) wszystkich zmiennych losowych wchodzących w skład procesu itp.

— Dilip Sarwate

2

@DilipSarwate, szeregi czasowe mogą być stacjonarne lub nie.

— Aksakal,

2

@Aksakal Zaczynam się różnić. Załóżmy, że statystyczny zaobserwował szereg czasowy o skończonej długości Czy jest to szereg stacjonarny? Jak możesz stwierdzić, że jest (lub nie jest)? Chyba że mamy kilka szeregów czasowych (dla tych samych chwil), z których moglibyśmy wyciągać wnioski na temat procesu stochastycznego („O rany, histogramy wartości przyjmowanych przez są prawie takie same, niezależnie od wyboru ”) . Ale pojedyncza sekwencja liczb? Nie można powiedzieć, czy seria jest stacjonarna, czy nie, ale można założyć, że jest to podstawowy model procesu stochastycznego

1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1

$1,0,-1,0,1,0,-1$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— Dilip Sarwate

32

Ponieważ wiele niepokojących rozbieżności pojawia się w komentarzach i odpowiedziach, odwołajmy się do niektórych autorytetów.

James Hamilton nawet nie definiuje szeregu czasowego, ale nie ma wątpliwości, co to jest:

... ten zestaw liczb to tylko jeden możliwy wynik leżącego u podstaw procesu stochastycznego, który wygenerował dane. Rzeczywiście, nawet gdybyśmy mogli sobie wyobrazić obserwowanie procesu przez nieskończony okres czasu, dochodząc do sekwencji nieskończony sekwencji byłoby wciąż postrzegane jako pojedyncza realizacja z szeregu czasowego. ... $T$
${y_{t}}_{t = \infty}^{\infty} = {\dots, y_{- 1}, y_{0}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{T}, y_{T + 1}, y_{T + 2}, \dots,},$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$
Wyobraź sobie baterię ... komputerów generujących sekwencje i rozważ wybranie obserwacji powiązanej z datą z każdego sekwencja: Można to opisać jako próbkę realizacji zmiennej losowej . ... $I$ $\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$ $t$
${y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(2)}, \dots, y_{t}^{(I)}} .$ $\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$ $I$ $Y_t$

( Analiza szeregów czasowych , rozdział 3.)

Zatem „proces szeregów czasowych” jest zbiorem zmiennych losowych indeksowanych liczbami całkowitymi . $\{Y_t\}$ $t$

W stochastycznych równaniach różniczkowych Bernt Øksendal podaje standardową matematyczną definicję ogólnego procesu stochastycznego:

Definicja 2.1.4. Stochastycznego procesu jest sparametryzowanego zbiór zmiennych losowych zdefiniowane w przestrzeni prawdopodobieństwa i zakładając, że wartości .
${X_{t}}_{t \in T}$ $\{X_t\}_{t\in T}$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$
Przestrzeń parametrów jest zwykle (jak w tej książce) linią środkową , ale może to być również interwał , nieujemne liczby całkowite, a nawet podzbiory dla . $T$ $[0,\infty)$ $[a,b]$ $\mathbb{R}^n$ $n\ge 1$

Podsumowując, widzimy, że proces szeregów czasowych jest procesem stochastycznym indeksowanym liczbami całkowitymi.

Niektóre osoby używają „szeregów czasowych” w odniesieniu do realizacji procesu szeregów czasowych (jak w artykule z Wikipedii ). Widzimy w języku Hamiltona uzasadniony wysiłek odróżnienia procesu od realizacji poprzez użycie „procesu szeregów czasowych”, aby mógł on używać „szeregów czasowych” w odniesieniu do realizacji (lub nawet danych).

— Whuber
źródło

2

(+1) Myślę, że ostatni akapit jest szczególnie ważny (choć subtelny). Chciałem jednak dodać, że czasami pojawia się pomysł „ciągłego szeregu czasowego”. Czasami fraza używana jest po prostu, aby wskazać, że sama zmienna jest ciągła, a nie dyskretna, ale widziałem również, że jest używana do wskazania, że czas jest próbkowany w sposób ciągły , więc „indeksowane według liczb całkowitych” może nie być powszechnie przyjętą definicją. Patrz np. Tutaj , w Time Series: Theory & Methods autorstwa Brockwell & Davis.

— Silverfish,

1

@Silverfish Doceniam te komentarze. Ostatecznie jednak uważam je za nieprzekonujące z tego prostego powodu, że „seria” jest powszechnie stosowana w matematyce w odniesieniu do funkcji z policzalną domeną. Pojęcie „ciągłe pobieranie próbek” nie może być objęte tą koncepcją. Nie podważam twoich spostrzeżeń, że niektórzy autorzy mogli nazywać procesy stochastyczne w czasie ciągłym „serią” - mówię tylko, że jeśli tak jest, to nadużywają ustalonej terminologii.

— whuber

3

Myślę, że w tym jest pewien stopień debaty „opis kontra recepta”. Idea „ciągłego szeregu czasowego” jest zdecydowanie użyciem mniejszości (zastanawiam się, czy jest to zależne od pola, moje ograniczone rozumienie jest takie, że ludzie przetwarzający sygnał zwykle odnoszą się do „ciągłego sygnału czasowego” zamiast „szeregu”) i osobiście jestem skłonny zgodzić się, że słowo „szereg” jest logicznie bardziej spójne z dyskretnym próbkowaniem. Chciałem tylko zauważyć, że użycie mniejszości nie jest niespotykane, nawet wśród ekspertów, co może tłumaczyć niektóre z powstałych nieporozumień.

— Silverfish,

@Silverfish, zatem dla tej mniejszości, która również rozważa ciągłe szeregi czasowe, proces stochastyczny jest równy szeregom czasowym?

— Kod Papież

3

Proces stochastyczny to zbiór lub zbiór zmiennych losowych (niekoniecznie niezależny), gdzie indeks t przyjmuje wartości z pewnego zestawu, zestaw ten jest uporządkowany i odpowiada chwili. przykład losowy spacer. Szeregi czasowe Jest realizacją procesu stochastycznego. $\left\{X_t\right\}$

— Mwandri
źródło

1

Definiowanie procesu stochastycznego

Niech będzie przestrzenią prawdopodobieństwa. Niech będzie kolejną mierzalną przestrzenią (taką jak przestrzeń liczb rzeczywistych ). Mówiąc nieco nieprecyzyjnie: $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ $S$ $\mathbb{R}$

Zmienna losowa jest mierzalną funkcję z do . $\Omega$ $S$
Proces stochastyczny to rodzina zmiennych losowych indeksowanych według czasu .
- Za każdym razem , jest zmienną losową $t \in \mathcal{T}$ $X_t$
- Dla każdego wyniku , jest realizacją procesu stochastycznego, możliwą ścieżką obraną przez w miarę upływu czasu. $\omega \in \Omega$ $X(\omega)$ $X$

Definiowanie szeregów czasowych

Podczas gdy proces stochastyczny ma krystalicznie czystą, matematyczną definicję. Szereg czasowy jest mniej precyzyjnym pojęciem, a ludzie używają szeregów czasowych w odniesieniu do dwóch powiązanych, ale różnych obiektów:

Jak opisuje WHuber, proces stochastyczny indeksowany liczbami całkowitymi lub pewną regularną, przyrostową jednostką czasu, którą można w pewnym sensie odwzorować na liczby całkowite (np. Dane miesięczne).
Zbiór danych obserwowanych w regularnych odstępach czasu. Może to być realizacja procesu stochastycznego indeksowanego liczbami całkowitymi. Czasami nazywa się to danymi szeregów czasowych.

Przykład: dwa przewrotki halsu

Niech . Niech będą wynikiem odpowiednio przerzucenia 1 i 2. $\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$ $X_1, X_2$

X_{1} (ω) = {\begin{array}{rr} 1 : & ω \in {ω_{H H}, ω_{H T}} \\ 0 : & ω \in {ω_{T H}, ω_{T T}} \end{array}

$X_1(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{TH}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$

X_{2} (ω) = {\begin{array}{rr} 1 : & ω \in {ω_{H H}, ω_{T H}} \\ 0 : & ω \in {ω_{H T}, ω_{T T}} \end{array}

$X_2(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{TH}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{HT}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$

Tak więc wyraźnie jest procesem stochastycznym. Ludzie mogą również nazywać to szeregiem czasowym, ponieważ indeksowanie odbywa się według liczb całkowitych. Ludzie mogą również nazywać realizację , np. , dane szeregów czasowych lub szeregów czasowych. $\{X_1, X_2\}$ $X$ $X(\omega_{HH}) = (H, H)$

— Matthew Gunn
źródło

0

Różnica między procesem stochastycznym a szeregiem czasowym przypomina nieco różnicę między kotem na klawiaturze a odpowiedzią na Stack Exchange: Koty na klawiaturze mogą dawać odpowiedzi, ale koty na klawiaturze nie są odpowiedziami. Co więcej, nie każda odpowiedź jest tworzona przez kota na klawiaturze.

Szereg czasowy można rozumieć jako zbiór par czas-wartość-dane-punkt. Z drugiej strony proces stochastyczny jest modelem matematycznym lub matematycznym opisem rozkładu szeregów czasowych¹. Niektóre szeregi czasowe są realizacją procesów stochastycznych (dowolnego rodzaju). Lub z innego punktu widzenia: mogę użyć procesu stochastycznego jako modelu do generowania szeregów czasowych.

Ponadto szeregi czasowe można również generować na inne sposoby:

Mogą być wynikiem obserwacji, a zatem są generowane przez rzeczywistość. Chociaż mogę modelować rzeczywistość jako proces stochastyczny (mógłbym również powiedzieć, że traktuję rzeczywistość jako proces stochastyczny), rzeczywistość nie jest procesem stochastycznym w taki sam sposób, w jaki wnętrze pudełka nie jest zbiorem punktów (chociaż często rozważ dwa równoważne w kontekstach modelowania).
$x=2$

^{¹ Jeśli jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym. Stochastyczny proces w czasie ciągłym to raczej rozkład funkcji niż szereg czasowy.}

— Wrzlprmft
źródło

1

Nie jest jasne, czy wprowadzasz rozróżnienie między modelem a zestawem danych, czy też próbujesz zrobić coś innego. Nie jest również jasne, na czym polega proces stochastyczny. (Powiedziałeś tylko, że nie jest to „proces stochastyczny w czasie dyskretnym”.) Te niepewności w twoim wykładzie mogą zwiększyć zamieszanie, a nie go rozwiązać.

— whuber

@whuber: Zredagowałem moją odpowiedź, aby wyjaśnić niektóre aspekty, ale myślę, że również źle zrozumiałeś zdanie „nawet”.

— Wrzlprmft,

0

Doceniam wszystkie wniesione dyskusje / komentarze na temat szeregów czasowych a proces stochastyczny. Oto moje rozumienie różnicy: Szereg czasowy jest zjawiskiem obserwowanym, rejestrowanym jako szereg liczb indeksowanych czasem w czasie obserwacji; najprawdopodobniej jest to seria obserwacji rzeczywistego zjawiska, takiego jak ceny akcji na nowojorskiej giełdzie papierów wartościowych. Z drugiej strony proces stochastyczny jest zawsze rozumiany jako matematyczne przedstawienie (nie produkcja) szeregów czasowych.

— Mag
źródło

Procesy stochastyczne są bardziej ogólne niż szeregi czasowe. Na przykład łańcuchy Markowa są procesami stochastycznymi, które nie są szeregami czasowymi.

— Michael R. Chernick,

1

@Michael Chernick: Czy łańcuch Markowa nie jest zgodny z definicjami: „zbiorem zmiennych losowych indeksowanych liczbami całkowitymi t” i „procesem stochastycznym indeksowanym liczbami całkowitymi”? Które części tych definicji Łańcuchy Markowa nie spełniają lub nie zgadzasz się z tymi definicjami?

— ColorStatistics

Czy szereg czasowy jest taki sam jak proces stochastyczny?

Definiowanie procesu stochastycznego

Definiowanie szeregów czasowych

Przykład: dwa przewrotki halsu