Rozkład prawdopodobieństwa dla hałaśliwej fali sinusoidalnej

Chcę analitycznie obliczyć rozkład prawdopodobieństwa punktów próbkowania z funkcji oscylacyjnej, gdy wystąpi jakiś błąd pomiaru. Obliczyłem już rozkład prawdopodobieństwa dla części „bez szumu” (umieszczę to na końcu), ale nie mogę wymyślić, jak uwzględnić „szum”.

Szacunek liczbowy

Aby być bardziej zrozumiałym, wyobraź sobie, że istnieje funkcja której losowo wybierasz punkty podczas jednego cyklu; jeśli binujesz punkty na histogramie, otrzymasz coś związanego z rozkładem.$y(x) = \sin(x)$

Bez hałasu

Na przykład tutaj jest i odpowiedni histogram$sin(x)$

Z hałasem

Teraz, jeśli wystąpi jakiś błąd pomiaru, zmieni on kształt histogramu (i stąd myślę, że podstawowy rozkład). Na przykład

Obliczenia analityczne

Mam nadzieję, że przekonałem cię, że jest między nimi jakaś różnica, teraz napiszę, jak obliczyłem przypadek „bez hałasu”:

Bez hałasu

$$y(x) = \sin(x)$$

Jeśli więc czasy, w których próbkujemy, są równomiernie rozłożone, to rozkład prawdopodobieństwa dla musi spełniać:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

potem

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

a więc

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

który przy odpowiedniej normalizacji pasuje do histogramu wygenerowanego w przypadku „bez szumu”.

Z hałasem

Moje pytanie brzmi: w jaki sposób mogę analitycznie uwzględnić hałas w dystrybucji? Myślę, że jest to coś w rodzaju sprytnego połączenia rozkładów lub włączenia szumu do definicji , ale brakuje mi pomysłów i sposobów, aby iść naprzód, więc wszelkie wskazówki / porady, a nawet zalecana lektura będą dużo docenione.$y(x)$

Zależy to od struktury procesu hałasu.

Zakładając, że mam rozumieć sytuację poprawnie, jeśli hałas jest dodatek, niezależne i identycznie rozmieszczone, by po prostu mieć splot gęstości szumu z gęstością .$Y$

Jeśli jest losowo jednorodny w cyklu, twój bezszumowy proces od to , który jest zdegenerowany, ze średnią i wariancją 0. Rozkład krańcowy jest jednolitą mieszaniną tych rozkładów zdegenerowanych ; wygląda na to, że poprawnie opracowałeś tę dystrybucję; nazwijmy tę gęstość .$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

Jeśli na przykład twój hałas to , to znaczy , a następnie to gęstość sumy hałasu z tą jednorodną mieszaniną zmiennych bezszumowych.$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(tego splotu dokonano numerycznie; nie wiem, jak wykonalna jest ta całka w tym przykładzie, ponieważ jej nie próbowałem).

Myślę, że wyprowadzone wyrażenie dla P (x) jest wyłączone dwa razy. Równomiernie rozłożony czas próby jest równoważny z równomiernym rozłożeniem fazy w przedziale -pi, pi. Funkcja trygonometryczna rozkłada prawdopodobieństwo w przedziale y {-1,1}. Całkowanie P (y) w tym przedziale musi = 1, a nie 2, jak otrzymano przy użyciu całki powyżej. Myślę, że P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))