Czy średnia = mediana oznacza, że ​​rozkład unimodalny jest symetryczny?

W przypadku rozkładu unimodalnego, jeśli średnia = mediana, wystarczy powiedzieć, że rozkład jest symetryczny?

Wikipedia mówi w związku między średnią a medianą:

„Jeśli rozkład jest symetryczny, średnia jest równa medianie, a rozkład będzie miał zerową skośność. Jeśli ponadto rozkład jest jednomodalny, wówczas średnia = mediana = tryb. Tak jest w przypadku rzutu monetą lub seria 1,2,3,4, ... Zauważ jednak, że odwrotność nie jest ogólnie prawdą, tzn. zerowa skośność nie oznacza, że ​​średnia jest równa medianie. ”

Jednak uzyskanie informacji, których potrzebuję, nie jest dla mnie bardzo proste. Proszę o wszelką pomoc.

Oto mały kontrprzykład, który nie jest symetryczny: -3, -2, 0, 0, 1, 4 jest unimodalny z trybem = mediana = średnia = 0.

Edycja: jeszcze mniejszy przykład to -2, -1, 0, 0, 3.

Jeśli chcesz wyobrazić sobie zmienną losową zamiast próbki, weź podporę jako {-2, -1, 0, 3} z funkcją masy prawdopodobieństwa 0.2 na wszystkich z nich, z wyjątkiem 0, gdzie wynosi 0,4.

To zaczęło się jako komentarz, ale stało się zbyt długie; Postanowiłem zrobić z tego więcej odpowiedzi.

${A\implies B}$$B\implies A$

Chciałbym poradzić sobie z kilkoma dodatkowymi problemami i wskazać tutaj obszerne odpowiedzi, które są do pewnego stopnia powiązane.

1. Cytowane na stronie Wikipedii stwierdzenie, które zacytowałeś, również nie jest do końca prawdziwe. Rozważmy na przykład rozkład Cauchy'ego, który z pewnością jest symetryczny względem jego mediany, ale który nie ma znaczenia. Oświadczenie wymaga kwalifikatora, takiego jak „pod warunkiem, że istnieje średnia i skośność”. Nawet jeśli sprowadzimy to do słabszego stwierdzenia w pierwszej połowie pierwszego zdania, nadal potrzebuje „pod warunkiem, że istnieje średnia”.

2. Twoje pytanie częściowo łączy symetrię z zerową skośnością (zakładam, że zamierzasz skośność w trzeciej chwili, ale podobna dyskusja mogłaby zostać napisana dla innych miar skośności). Posiadanie 0 skośności nie oznacza symetrii. Późniejsza część twojego cytatu i sekcja z Wikipedii cytowana przez Alexisa wspominają o tym, chociaż wyjaśnienie podane w drugim cytacie może wymagać pewnych poprawek.

Ta odpowiedź pokazuje, że związek między skośnością trzeciego momentu a kierunkiem związku między średnią a medianą jest słaby (skośność trzeciego momentu i skośność drugiego Pearsona nie muszą odpowiadać).

Punkt 1. tej odpowiedzi daje dyskretny kontrprzykład, podobny do, ale inny niż ten podany przez Silverfish.

Edycja: W końcu odkopałem ten niejednoznaczny przykład, którego tak naprawdę szukałem wcześniej.

W tej odpowiedzi wspominam o następującej rodzinie:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

$\alpha=0$$\alpha=\frac{_1}{^2}$

(szare linie pokazują gęstość niebieskiego obróconą wokół osi x, aby asymetria była gładka)

Whuber podaje tutaj kolejny przykład z zerową skośnością, która jest ciągła, niemodalna i asymetryczna. Powtórzyłem jego schemat:

który pokazuje przykład i to samo obrócił się o średnią (aby wyraźnie pokazać asymetrię), ale powinieneś przeczytać oryginał, który zawiera wiele przydatnych informacji.

[Odpowiedź Whubera tutaj daje kolejną asymetryczną ciągłą rodzinę rozkładów z tymi samymi momentami. Wykonanie tego samego triku „wybierz dwa, przerzuć jeden i weź mieszaninę 50-50” daje taki sam wynik asymetrii ze wszystkimi nieparzystymi momentami zero, ale myślę, że nie daje to jednomodalnych rezultatów (chociaż być może istnieją pewne przykłady). ]

Odpowiedź tutaj omawia związek między średnią, medianą i trybem.

Ta odpowiedź omawia testy hipotez symetrii.

Nie.

Jeśli dodatkowo rozkład jest jednomodalny, wówczas średnia = mediana = tryb.

W ten sam sposób, w jaki „Jeśli małe zwierzę jest kurczakiem, to jego pochodzenie jest jajem”, nie oznacza, że ​​„Jeśli źródłem jest jajo, to małe zwierzę jest kurczakiem”.

Z tego samego artykułu w Wikipedii:

W przypadkach, gdy jeden ogon jest długi, ale drugi ogon jest gruby, skośność nie podlega prostej zasadzie. Na przykład wartość zerowa wskazuje, że ogony po obu stronach średniej wyrównują się, co ma miejsce zarówno w przypadku rozkładu symetrycznego, jak i w przypadku rozkładów asymetrycznych, w których asymetrie się wyrównują, na przykład jeden ogon jest długi, ale cienki, i inne są krótkie, ale grube.

Ciekawe i łatwe do zrozumienia przykłady pochodzą z rozkładu dwumianowego.

$\times$$=$

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

Kod Stata dla tego wyświetlacza był mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'i prawdopodobnie jest tak prosty lub prostszy w każdym oprogramowaniu statystycznym, o którym warto wspomnieć.

Ze względów psychologicznych zamiast logicznych nie można przekonująco odrzucić tego przykładu jako patologicznego (ponieważ w innych problemach można pominąć dystrybucje, dla których pewne momenty nawet nie istnieją) lub jako dziwaczny lub trywialny przykład opracowany w tym celu (jako na przykład wymyślone dane opisane przez @Silverfish lub 0, 0, 1, 1, 1, 3).