Czy średnia plus jedno odchylenie standardowe może przekroczyć wartość maksymalną?

19

Mam na myśli 74,10 i odchylenie standardowe 33,44 dla próbki, która ma minimum 0 i maksimum 94,33.

Mój profesor pyta mnie, jak to znaczy, że jedno odchylenie standardowe przekracza maksimum.

Pokazałem jej wiele przykładów na ten temat, ale ona nie rozumie. Potrzebuję odniesienia, aby ją pokazać. Może to być dowolny rozdział lub akapit z książki statystyk, który mówi o tym szczególnie.

— Boyun Omuru
źródło

Dlaczego chcesz dodać (lub odjąć) jedno odchylenie standardowe od średniej? SD jest miarą rozprzestrzeniania się danych. Czy zamiast tego chciałeś standardowego błędu średniej?

— Przywróć Monikę - G. Simpson

Nie chcę dodawać ani odejmować, tym, który chce tego, jest mój profesor. W ten sposób rozumie odchylenie standardowe

— Boyun Omuru,

5

Ciekawym przykładem jest próbka (0,01,0,02,0,98,0,99). Zarówno średnia plus odchylenie standardowe, jak i średnia minus odchylenie standardowe leżą poza [0,1].

— Glen_b

Może po prostu myśli o rozkładzie normalnym?

— user765195

28

Z pewnością średnia plus jeden sd może przekroczyć największą obserwację.

Rozważ próbkę 1, 5, 5, 5 -

ma średnią 4 i odchylenie standardowe 2, więc średnia + sd wynosi 6, jeden więcej niż maksimum próbki. Oto obliczenia w R:

> x=c(1,5,5,5)
> mean(x)+sd(x)
[1] 6

To częste zjawisko. Zdarza się to zwykle wtedy, gdy po lewej stronie znajduje się wiązka wysokich wartości i ogon (tj. Gdy występuje silna skośność w lewo i szczyt blisko wartości maksymalnej).

-

Ta sama możliwość dotyczy rozkładów prawdopodobieństwa, a nie tylko próbek - średnia populacji plus sd populacji może łatwo przekroczyć maksymalną możliwą wartość.

Oto przykład gęstość, która ma maksymalną możliwą wartość 1: $\text{beta}(10,\frac{1}{2})$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

W takim przypadku możemy spojrzeć na stronę Wikipedii w celu uzyskania rozkładu wersji beta, który stwierdza, że średnia to:

$\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$

a wariancja to:

$\operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$

(Chociaż nie musimy polegać na Wikipedii, ponieważ są one dość łatwe do uzyskania).

Zatem dla i $\alpha=10$ mamy średniąi sd, a więc średnią + sd, więcej niż możliwe maksimum 1. $\beta=\frac{1}{2}$ $\approx 0.9523$ $\approx 0.0628$ $\approx 1.0152$

Oznacza to, że łatwo jest mieć wartość średnią + sd, której nie można zaobserwować jako wartości danych .

-

W każdej sytuacji, w której tryb był maksymalny, skośność trybu Pearsona musi wynosić tylko dla średniej + sd przekraczającej maksimum. Może przyjmować dowolną wartość, dodatnią lub ujemną, dzięki czemu możemy łatwo zauważyć. $<\,-1$

-

Blisko spokrewniony problem jest często postrzegany z przedziałami ufności dla proporcji dwumianowej , gdzie zwykle używany przedział, normalny przedział aproksymacji może dawać granice poza . $[0,1]$

Na przykład, rozważ 95,4% normalnego przedziału aproksymacji dla odsetka populacji sukcesów w próbach Bernoulliego (wyniki to 1 lub 0, odpowiednio reprezentujące zdarzenia sukcesu i niepowodzenia), gdzie 3 z 4 obserwacji to „ ”, a jedna obserwacja to „ ”. $1$ $0$

Następnie górny limit odstępu jest $\hat p + 2 \times \sqrt{\frac{1}{4}\hat p \left(1 - \hat p \right)} = \hat p + \sqrt{\hat p (1 - \hat p )} = 0.75 + 0.433=1.183$

Jest to tylko średnia próbki + zwykłe oszacowanie sd dla dwumianu ... i daje niemożliwą wartość.

Zazwyczaj próbkę sd 0,1,1,1 wynosi 0,5 zamiast 0,433 (różnią się, ponieważ dwumianowego oszacowanie ml odchylenie standardowe odpowiada podzieleniu wariancję przez zamiast ) . Ale to nie robi różnicy - w obu przypadkach średnia + sd przekracza największy możliwy odsetek. $\hat p(1-\hat p)$ $n$ $n-1$

Ten fakt - że normalny interwał aproksymacji dla dwumianu może dawać „wartości niemożliwe” jest często odnotowywany w książkach i artykułach. Nie masz jednak do czynienia z danymi dwumianowymi. Niemniej jednak problem - to znaczy + pewna liczba odchyleń standardowych nie jest możliwą wartością - jest analogiczny.

-

W twoim przypadku nietypowa wartość „0” w twojej próbce powoduje, że sd jest większe niż obniża średnią, dlatego średnia + sd jest wysoka.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

-

(Pytanie brzmiałoby zamiast tego - z jakiego powodu byłoby to niemożliwe? - ponieważ nie wiedząc, dlaczego ktokolwiek mógłby pomyśleć, że w ogóle jest problem, co rozwiązujemy?)

Logicznie rzecz biorąc, jeden pokazuje, że jest to możliwe, podając przykład, gdzie to się dzieje. Już to zrobiłeś. W przypadku braku określonego powodu, dla którego powinno być inaczej, co masz zrobić?

Jeśli przykład nie jest wystarczający, jaki dowód byłby akceptowalny?

Naprawdę nie ma sensu po prostu wskazywać na oświadczenie w książce, ponieważ każda książka może zawierać oświadczenie błędnie - cały czas je widzę. Należy polegać na bezpośrednim zademonstrowaniu, że jest to możliwe, albo na dowodzie w algebrze (można go zbudować z przykładu beta powyżej, na przykład *), albo na przykładzie numerycznym (który już podałeś), który każdy może zbadać samodzielnie .

* Whuber podaje dokładne komentarze dla wersji beta w komentarzach.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

5

0 < β < 1

$0\lt\beta\lt 1$

α > β (1 + β) / (1 - β)

$\alpha \gt \beta(1+\beta)/(1-\beta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

1

$1$

Pozwól mi wyjaśnić dalej. Szukam procentu dokładności konkretnego urządzenia używanego do korekcji zębów. To urządzenie wykonało procent dokładności dla 7 zębów w następujący sposób:% 76,19,% 77,41,% 94,33,% 91,06,% 0,% 87,77,% 91,96. Mój profesor dodaje jedno odchylenie standardowe do średniej i stwierdza, że wynik nie może przekroczyć maksymalnej wartości nawet% 100, ponieważ% 100 to maksymalny procent dokładności, jaki może wykonać urządzenie.

— Boyun Omuru,

2

Ma rację, że procent> 100% nie ma sensu w twojej sytuacji. Problemem jest niepotwierdzona przesłanka, że dodanie jednego sd do średniej powinno mieć sens w tym kontekście, gdy nie ma . To jest, jak sądzę, twoja trudność pochodzi. Jeśli zrozumiemy, skąd pochodzi ta przesłanka, może to prowadzić do lepszej rozdzielczości. Możliwe, że gdzieś w książce jest podany prosty fakt (jest to jednak banalna obserwacja, więc możliwe, że też nie jest), ale wątpię, czy kiedykolwiek zostanie on w sposób zadowalający ją, ponieważ jest fałszywa przesłanka jest źródłem problemu.

— Glen_b

1

Rzeczywiście - moja drobna uwaga jest taka, że ta ciekawość jest wynikiem tego, co reprezentują odchylenia standardowe dla silnie niesymetrycznych rozkładów, niż wynikiem pobrania próbki. Ale ogólnie myślę, że twoja odpowiedź jest doskonała

— Henry

2

@tomka Próbowałem pomóc wielu uczniom w podobnej sytuacji. W końcu nauczyłem się (być może nic dziwnego) praktycznej zasady, że nauczanie superwizora jest praktycznie niemożliwe za pośrednictwem ich ucznia.

— Glen_b

4

Na nierówność Czebyszewa mniej niż k ^-2 punktów może być więcej niż k odchyleń standardowych. Zatem dla k = 1 oznacza to, że mniej niż 100% twoich próbek może znajdować się w odległości większej niż jedno odchylenie standardowe.

Bardziej interesujące jest spojrzenie na dolną granicę. Twój profesor powinien być bardziej zaskoczony, że są punkty o około 2,5 odchylenia standardowego poniżej średniej. Ale teraz wiemy, że tylko około 1/6 twoich próbek może wynosić 0.

— MSalters
źródło

3

$\sigma$ $\sigma$

— Snives
źródło

5

To niezły wkład. Nie jestem jednak pewien, czy SD naprawdę „zakłada” rozkład normalny.

— Gung - Przywróć Monikę

3

„Dopasowanie rozkładu” i znalezienie przejścia do normalności to odrębne procedury o różnych celach.

— whuber

2

$X$ $1$ $0<p<1$ $0$ $1-p$

mi (X) = p, S. mi (X) = \sqrt{p (1 - p)}

$E(X) = p,\;\; SE(X) = \sqrt {p(1-p)}$

A my chcemy

mi (X) + S. mi (X) > 1 \Rightarrow p + \sqrt{p (1 - p)} > 1

$E(X)+ SE(X) > 1 \Rightarrow p +\sqrt {p(1-p)} >1$

\Rightarrow \sqrt{p (1 - p)} > (1 - p)

$\Rightarrow \sqrt {p(1-p)} > (1-p)$

Kwadrat po obu stronach, aby uzyskać

p (1 - p) > (1 - p)^{2)} \Rightarrow p > 1 - p \Rightarrow p > \frac{1}{2)}

$p(1-p) > (1-p)^2 \Rightarrow p > 1-p \Rightarrow p > \frac 12$

$p>1/2$ $E(X)+ SE(X) > \max X$

$p=0.7$ $1$

$U(a,b)$ $E(U)+ SE(U) < \max U=b$

— Alecos Papadopoulos
źródło