Kiedy, jeśli kiedykolwiek, mediana statystyki jest wystarczającą statystyką?

Natknąłem się na uwagę w The Chemical Statistician, że mediana próbki może być często wyborem wystarczającej statystyki, ale poza oczywistym przypadkiem jednej lub dwóch obserwacji, w których jest równa średniej próbki, nie mogę wymyślić innej nietrywialnej i iid przypadek, w którym mediana próbki jest wystarczająca.

— Xi'an
źródło

Czy chciałeś napisać „że mediana próbki może być często”?

— Juho Kokkala

To interesujące pytanie; podwójny wykładniczy ma medianę dla estymatora ML jego parametru lokalizacji, ale nie jest wystarczający.

— Glen_b

W przypadku, gdy poparcie rozkładu nie zależy od nieznanego parametru θ, możemy przywołać twierdzenie Pitmana-Koopmana (Fréchet-Darmois-) , a mianowicie, że gęstość obserwacji jest koniecznie wykładniczej postaci rodziny, aby stwierdzić, że ponieważ naturalna wystarczająca statystyka jest również wystarczająca minimalna, to mediana powinna być funkcją

\exp {θ T (x) - ψ (θ)} h (x)

$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$

S = \sum_{i = 1}^{n} T (x_{i})

$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$

S

$S$ , co jest niemożliwe: modyfikacja ekstremum w obserwacjach

, modyfikuje

ale nie modyfikuje mediany.

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

n > 2

$n>2$

S

$S$

f (x | θ) = h (x) I_{A_{θ}} (x) τ (θ)

$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$

A_{θ}

$A_\theta$

f

$f$

\prod_{i = 1}^{n} I_{A_{θ}} (x_{i})

$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$

\prod_{i = 1}^{n} I_{A_{θ}} (x_{i}) = I_{B_{θ}^{n}} (med (x_{1 : n}))

$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

I_{B_{θ}^{n + 1}} (med (x_{1 : n + 1})) = I_{B_{θ}^{n}} (med (x_{1 : n})) \times I_{A_{θ}} (x_{n + 1})

$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$

— Xi'an
źródło

What is set

B_{θ}^{n}

$B_\theta^n$ ?

— 3x89g2

It is the support of the median.

— Xi'an