Szacowanie liczby piłek poprzez sukcesywne wybieranie piłki i oznaczanie jej

Powiedzmy, że mam N piłek w torbie. Przy pierwszym losowaniu zaznaczam piłkę i wkładam ją do torby. Podczas drugiego losowania, jeśli podniosę zaznaczoną piłkę, zwracam ją do torby. Jeśli jednak podniosę nieoznakowaną piłkę, oznaczę ją i wrócę do torby. Kontynuuję to dla dowolnej liczby losowań. Jaka jest oczekiwana liczba piłek w torbie przy danej liczbie losowań i zaznaczonej / nieoznaczonej historii losowań?

— ashemon
źródło

Być może powiązane: czy spojrzałeś na metodę przechwytywania i wychwytywania w celu oszacowania liczebności populacji? en.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture

— a.arfe

„Liczby oczekiwanej” nie można rozumieć w jej zwykłym technicznym znaczeniu wartości oczekiwanej, ponieważ nie istnieje rozkład prawdopodobieństwa

N

$N$ . To brzmi jak prosicie dla estymatora z

N

$N$ .

— whuber

Oto pomysł. Pozwolić $\mathcal{I}$ być skończonym podzbiorem liczb naturalnych, które będą służyć jako możliwe wartości dla $N$ . Załóżmy, że mamy wcześniejszą dystrybucję $\mathcal{I}$ . Napraw nie losową dodatnią liczbę całkowitą $M$ . Pozwolić $k$ być zmienną losową oznaczającą liczbę oznaczeń piłki $M$ czerpie z torby. Celem jest znalezienie $E(N|k)$ . Będzie to funkcja $M,k$ i przeor.

Zgodnie z regułą Bayesa mamy

\begin{aligned} P (N = j | k) & = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{P (k)} \\ = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{\sum_{r \in I} P (k | N = r) P (N = r)} \end{aligned}

$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$

Przetwarzanie danych $P(k|N=j)$ jest znanym obliczeniem, które stanowi wariant problemu kolektorów kuponów. $P(k|N=j)$ to prawdopodobieństwo, które obserwujemy $k$ różne kupony w $M$ rysuje, gdy są $j$ kupony ogółem. Zobacz tutaj argument za

P (k | N = j) = \frac{(\binom{j}{k}) k! S (M, k)}{j^{M}}

$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$

gdzie oznacza liczbę Stirlinga drugiego rodzaju . Możemy wtedy obliczyć $S$

E (N | k) = \sum_{j \in I} j P (N = j | k)

$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$

Poniżej znajdują się obliczenia dla różnych i . W każdym przypadku używamy munduru przed $k$ $M$ $[k,10k]$

\begin{array}{ccc} M & k & E (N) \\ 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69 \\ 30 & 15 & 20.00 \\ 30 & 20 & 39.53 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$

— użytkownik35546
źródło