Modelowanie bayesowskie przy użyciu wielowymiarowej normalnej z kowariantem

Załóżmy, że masz zmienną objaśniającą gdzie oznacza daną współrzędną. Masz również zmienną odpowiedzi . Teraz możemy połączyć obie zmienne jako: ${\bf{X}} = \left(X(s_{1}),\ldots,X(s_{n})\right)$ $s$ ${\bf{Y}} = \left(Y(s_{1}),\ldots,Y(s_{n})\right)$

W (s) = (\begin{array}{ccc} X (s) \\ Y (s) \end{array}) \sim N (μ (s), T)

${\bf{W}}({\bf{s}}) = \left( \begin{array}{ccc}X(s) \\ Y(s) \end{array} \right) \sim N(\boldsymbol{\mu}(s), T)$

W takim przypadku wybieramy po prostu $\boldsymbol{\mu}(s) = \left( \mu_{1} \; \; \mu_{2}\right)^{T}$ a $T$ to macierz kowariancji opisująca zależność między $X$ i $Y$ . To opisuje tylko wartość $X$ i $Y$ w $s$ . Ponieważ mamy więcej punktów z innych lokalizacji dla $X$ i $Y$ , możemy opisać więcej wartości ${\bf{W}}(s)$ w następujący sposób:

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) = N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

Zauważysz, że przegrupowaliśmy komponenty $\bf{X}$ i $\bf{Y}$ aby uzyskać wszystkie $X(s_i)$ w kolumnie, a następnie połączyć wszystkie $Y(s_i)$ razem. Każdy składnik $H(\phi)_{ij}$ jest funkcją korelacji $\rho(s_i, s_j)$ a $T$ jest jak wyżej. Powodem, dla którego mają kowariancji $T\otimes H(\phi)$ , ponieważ zakładamy, że możliwe jest oddzielenie macierz kowariancji jako $C(s, s')=\rho(s, s') T$ .

Pytanie 1: Kiedy obliczam warunek ${\bf{Y}}\mid{\bf{X}}$ , tak naprawdę to generuję zestaw wartości $\bf{Y}$ na podstawie $\bf{X}$ prawda? Mam już $\bf{Y}$ więc bardziej chciałbym przewidzieć nowy punkt $y(s_{0})$ . W takim przypadku powinienem mieć macierz $H^{*}(\phi)$ zdefiniowaną jako

H^{*} (ϕ) = (\begin{array}{ccc} H (ϕ) & h \\ h & ρ (0, ϕ) \end{array})

$H^{*}(\phi) = \left(\begin{array}{ccc}H(\phi) & \boldsymbol{h} \\ \boldsymbol{h}& \rho(0,\phi) \end{array}\right)$

w którym $\boldsymbol{h}(\phi)$ jest wektorem $\rho(s_{0} - s_{j};\phi)$ . Dlatego możemy zbudować wektor (bez zmiany układu):

W^{*} = {(W (s_{1}), \dots, W (s_{n}), W (s_{0}))}^{T} \sim N (\begin{array}{ccc} 1_{n + 1} \otimes (\begin{array}{ccc} μ_{1} \\ μ_{2} \end{array}) \end{array}, H (ϕ)^{*} \otimes T)

${\bf{W^{*}}} = \left({\bf{W}}(s_{1}), \ldots, {\bf{W}}(s_{n}), {\bf{W}}(s_{0})\right)^{T} \sim N\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{1}_{n+1} \otimes \left( \begin{array}{ccc} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{array} \right)\end{array}, H(\phi)^{*}\otimes T\right)$

A teraz zmieniam kolejność, aby uzyskać wspólną dystrybucję i uzyskaj warunek . $\left(\begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ x(s_0) \\{\bf{Y}} \\ y(s_0)\end{array} \right)$ $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

Czy to jest poprawne?

Pytanie 2: , że muszę użyć tego rozkładu warunkowego i uzyskać a posterior rozkład , ale nie jestem pewien, jak uzyskać rozkład tylny dla parametrów. Może mógłbym użyć dystrybucji , że myślę jest dokładnie taki sam jak a następnie po prostu użyj twierdzenia Bayesa, aby uzyskać $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$ $p(\mu, T, \phi\mid x(s_0), {\bf{Y}}, {\bf{X}})$ $\left(\begin{array}{ccc}{\bf{X}} \\ x(s_0)\\ {\bf{Y}}\end{array}\right)$ $p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)$ $p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}) \propto p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)p(\mu, T, \phi)$

Pytanie 3: Na końcu podrozdziału autor mówi:

Do przewidywania nie mamy . Nie stwarza to żadnych nowych problemów, ponieważ można je traktować jako zmienną ukrytą i włączać do To tylko powoduje dodatkowe losowanie w każdej iteracji Gibbs i jest trywialnym dodatkiem do zadania obliczeniowego. ${\bf{X}}(s_0)$ $\bf{x}'$

Co oznacza ten akapit?

Nawiasem mówiąc, tę procedurę można znaleźć w tym artykule (strona 8), ale jak widać, potrzebuję trochę więcej szczegółów.

Dzięki!

— Robert Smith
źródło

Głosowano na migrację na żądanie OP .

Powiedziałbym poprawne zarówno do odpowiedzi na pytania 1 i 2. Pytanie 3 środki, które niepostrzeżenie jest traktowana jako dodatkowy parametr, na górze , wykorzystując pełną warunkową jak wcześniej w .

X (s_{0})

$X(s_0)$

μ, T, ϕ

$\mu,T,\phi$

p (x (s_{0}) ∣ X,, Y, μ, T, ϕ)

$p(x(s_0)\mid{\bf{X}}, , {\bf{Y}},\mu, T, \phi)$

X (s_{0})

$X(s_0)$

— Xi'an

Pytanie 1: Biorąc pod uwagę twój wspólny model prawdopodobieństwa rozkład uzależnione od dany jest również normalny, ze średnią i macierz wariancji-kowariancji

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) \sim N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), [\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}]) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) \sim N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), \begin{bmatrix} \boldsymbol\Sigma_{11} & \boldsymbol\Sigma_{12} \\ \boldsymbol\Sigma_{21} & \boldsymbol\Sigma_{22} \end{bmatrix} \right)=N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

Y

$\bf{Y}$

X

$\bf{X}$

μ_{2} + Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} (X - μ_{1})

$\boldsymbol\mu_2 + \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \left( \mathbf{X} - \boldsymbol\mu_1\right)$

Σ_{22} - Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} Σ_{21} .

$\boldsymbol\Sigma_{22} - \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \boldsymbol\Sigma_{21}.$ (Te formuły są kopiowane dosłownie ze strony Wikipedii na normalne wielowymiarowe .) To samo dotyczy od to kolejny wektor normalny.

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

(y (s_{0}), x (s_{0}), X, Y)

$(y(s_0), x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

Pytanie 2: W metodzie jest zdefiniowana jako tzn. przez zintegrowanie parametrów za pomocą rozkładu tylnego tych tylnych, biorąc pod uwagę bieżące dane . Pełna odpowiedź brzmi więc nieco więcej. Oczywiście, jeśli potrzebujesz tylko przeprowadzić symulację z metody predykcyjnej, twoje pojęcie symulacji łącznie z a następnie z jest poprawne. $p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y) = \int p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ | x (s_{0}), X, Y) d μ d T d ϕ,

$p(y(s_0) | x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(y(s_0)| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,,$

(X, Y, x (s_{0}))

$({\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0))$

p (μ, T, ϕ ∣ X, x (s_{0}), Y)

$p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)$

Pytanie 3: W przypadku, gdy nie jest przestrzegane, para może być przewidywana na podstawie innej predykcyjnej $x(s_0)$ $(x(s_0),y(s_0))$

p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y) = \int p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ ∣ X, Y) d μ d T d ϕ .

$p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,.$

Podczas symulacji z tego predykcyjnego, ponieważ nie jest on dostępny w formie możliwej do zarządzania, można uruchomić próbnik Gibbs, który iteracyjnie symuluje

$\mu\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\phi$
$T\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),\mu,\phi$
$\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\mu$
$x(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},y(s_0),\phi,T,\mu$
$y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),\phi,T,\mu$

lub połącz kroki 4 i 5 w jeden krok

$x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\phi,T,\mu$

— Xi'an
źródło