Czy test t-Studenta jest testem Walda?

Przeczytałem opis testów Walda z All Statistics Wassermana .

Wydaje mi się, że test Walda obejmuje testy t. Czy to jest poprawne? Jeśli nie, to co powoduje, że test t nie jest testem Walda?

hypothesis-testing t-test

— Gość
źródło

Statystyka testu Wald jest prawie, ale nie dokładnie równa kwadratowi statystyki testu t - patrz zaakceptowana odpowiedź stats.stackexchange.com/questions/60438/…

— marsei

@sed, więc test t nie jest testem Walda?

— gość

gdy n jest duże, test t jest zasadniczo identyczny z testem Walda.

— marsei

@sed jakie są „istotne” elementy testów, które są identyczne? Czy mówisz, że test t jest testem Walda, gdy n jest duże? Jakie aspekty nie są identyczne, gdy n jest duże?

— gość

Odpowiedzi:

Ponieważ Wasserman definiuje test Walda, statystyką zastosowaną w teście t jest z pewnością zdefiniowana tam statystyka Walda:

W. = \frac{\hat{θ} - θ_{0}}{\hat{se} (\hat{θ})}

$W=\frac{\hat{\theta}-\theta_0}{\hat{\text{se}}(\hat{\theta})}$

Jednak test Walda wykorzystuje asymptotyczny argument do porównania tej statystyki ze standardowym rozkładem normalnym. [Test Walda w przypadku pojedynczego parametru można zastosować jako test Z lub kwadrat chi; w omawianej sekcji Wasserman mówi o formularzu Z]

Test t opiera się na dokładnym argumencie dla małej próby w celu porównania statystyki testu z rozkładem t.

Tak więc, aby odpowiedzieć na twoje tytułowe pytanie, ściśle mówiąc, nie test t nie jest testem Walda.

Pamiętaj jednak, że są one asymptotycznie równoważne (tzn. Jako wielkość próby, $n\to\infty$ , odrzucą te same przypadki); z pewnością niektóre osoby - choć nieco luźno - nazywają test oparty na statystyce t testem Walda, niezależnie od tego, czy statystyka jest porównywana z asymptotycznym rozkładem normalnym, czy wynikiem małej próby (rozkład t).

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

@Glen_b zapewnił doskonałą odpowiedź na ten temat. Chcę dodać, że w teście rozkład jest rozkładem t. Na przykład musisz znać stopień swobody statystyk. Jednak test Walda opiera się na rozkładzie chi-kwadrat (kwadrat standardowej normy). Oczywiście, gdy stopień swobody dochodzi do nieskończoności, oba są asymptotycznie równoważne.

Wolałby się tylko test Walda dla wystarczająco dużej próbki.

— SmallChess
źródło