Czy korelacja niezerowa oznacza zależność?

17

Wiemy, że zerowa korelacja nie oznacza niezależności. Interesuje mnie, czy niezerowa korelacja implikuje zależność - tj. Jeśli $\text{Corr}(X,Y)\ne0$ dla niektórych zmiennych losowych i , możemy ogólnie powiedzieć, że ? $X$ $Y$ $f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

correlation independence

— Comp_Warrior
źródło

13

Tak ponieważ

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow Cov (X, Y) \neq 0

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$

\Rightarrow E (X Y) - E (X) E (Y) \neq 0

$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y [f_{X, Y} (x, y) - f_{X} (x) f_{Y} (y)] d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$

co byłoby niemożliwe, gdyby . Więc $f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow \exists {x, y} : f_{X, Y} (x, y) \neq f_{X} (x) f_{Y} (y)

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Pytanie: co dzieje się ze zmiennymi losowymi, które nie mają gęstości?

— Alecos Papadopoulos
źródło

1

Alecos, mam głupie pytanie. Co oznacza fantazyjna strzałka, np. W linii 1? Wyobrażam sobie coś w rodzaju „sugerować”, ale nie jestem pewien.

— Sycorax mówi Przywróć Monikę

2

@ user777 Masz na myśli

? Rzeczywiście oznacza to „implikuje”.

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Alecos Papadopoulos

Powód, dla którego strzałka implikacyjna jest używana tylko w nieformalnym argumencie: czy strzałka implikacyjna jest lewa czy prawa skojarzona?

— kasterma

\implies produkuje

⟹

$\implies$ który wygląda lepiej niż \rightarowktóry daje

.

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Dilip Sarwate

14

Niech i oznaczają zmienne losowe, tak że i są skończone. Następnie , i są skończone. $X$ $Y$ $E[X^2]$ $E[Y^2]$ $E[XY]$ $E[X]$ $E[Y]$

Ograniczając naszą uwagę do takich zmiennych losowych, niech oznacza stwierdzenie, że i są niezależnymi zmiennymi losowymi, a stwierdzenie, że i są nieskorelowanymi zmiennymi losowymi, to znaczy . Wiemy zatem, że implikuje , to znaczy niezależne zmienne losowe są nieskorelowanymi zmiennymi losowymi. Rzeczywiście, jedna definicja $A$ $X$ $Y$ $B$ $X$ $Y$ $E[XY] = E[X]E[Y]$ $A$ $B$ niezależnych zmiennych losowych jest to, że równa się dla wszystkich mierzalnych funkcji i ). Zazwyczaj jest to wyrażone jako $E[g(X)h(Y)]$ $E[g(X)]E[h(Y)]$ $g(\cdot)$ $h(\cdot)$ Ale

A ⟹ B .

$A \implies B.$

jest logicznie równoważne

A ⟹ B

$A \implies B$

, to znaczy

\neg B ⟹ \neg A

$\neg B \implies \neg A$

skorelowane zmienne losowe są zależnymi zmiennymi losowymi.

Jeśli , lub nie są skończone lub nie istnieją, nie można stwierdzić, czy i są nieskorelowane, czy nie w klasycznym znaczeniu nieskorelowanych zmiennych losowych które . Na przykład i mogą być niezależnymi zmiennymi losowymi Cauchy'ego (dla których średnia nie istnieje $E[XY]$ $E[X]$ $E[Y]$ $X$ $Y$ $E[XY] = E[X]E[Y]$ $X$ $Y$ ). Czy są to nieskorelowane zmienne losowe w sensie klasycznym?

— Dilip Sarwate
źródło

3

Zaletą tej odpowiedzi jest to, że dotyczy ona tego, czy zmienne losowe, o których mowa, akceptują funkcję gęstości, w przeciwieństwie do innych odpowiedzi w tym wątku. Jest to prawdą, ponieważ oczekiwania można zdefiniować za pomocą całek Stieltjesa za pomocą CDF, bez wzmianki o gęstości.

— ahfoss

1

Oto czysto logiczny dowód. Jeśli to koniecznie , ponieważ oba są równoważne. Zatem, jeśli następnie . Teraz zamień niezależność, a korelację. $A\rightarrow B$ $\neg B \rightarrow \neg A$ $\neg B$ $\neg A$ $A$ $B$

Pomyśl o stwierdzeniu: „jeśli wybuchnie wulkan, nastąpi uszkodzenie”. Pomyśl teraz o przypadku, w którym nie ma żadnych szkód. Najwyraźniej wulkan nie wybuchł, w przeciwnym razie mielibyśmy kompromis.

Similarly, think about a case "If independent $X,Y$ , then non-correlated $X,Y$ ". Now, consider the case where $X,Y$ are correlated. Clearly they can't be independent, for if they were, they would also be correlated. Thus conclude dependence.

— Tony
źródło

If you will read my answer carefully, you will see that I too used the argument that you have made in your answer, namely that

A ⟹ B

$A \implies B$ is the same as

\neq B ⟹ \neg A

$\neq B \implies \neg A$ .

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Edited to reflect that.

— Tony