Przekształcanie danych proporcji: gdy pierwiastek kwadratowy arcsin nie wystarczy

Czy istnieje (silniejsza?) Alternatywa dla transformacji pierwiastka kwadratowego arcsin dla danych procentowych / procentowych? W zbiorze danych, nad którym obecnie pracuję, znacząca heteroscedastyczność pozostaje po zastosowaniu tej transformacji, tj. Wykres wartości resztowych w stosunku do dopasowanych wartości jest nadal bardzo romboidalny.

Edytowane, aby odpowiedzieć na komentarze: dane są decyzjami inwestycyjnymi uczestników eksperymentalnych, którzy mogą zainwestować 0-100% wyposażenia w wielokrotności 10%. Patrzyłem również na te dane przy użyciu porządkowej regresji logistycznej, ale chciałbym zobaczyć, co wytworzyłby prawidłowy glm. Ponadto widziałem, że odpowiedź jest przydatna w przyszłych pracach, ponieważ pierwiastek kwadratowy arcsin wydaje się być stosowany jako rozwiązanie uniwersalne w mojej dziedzinie i nie spotkałem się z żadną alternatywą.

Pewnie. John Tukey opisuje rodzinę (rosnących, jeden do jednego) przekształceń w EDA . Opiera się na tych pomysłach:

1. Aby móc wysunąć ogony (w kierunku 0 i 1) zgodnie z parametrem.

2. Niemniej jednak, aby dopasować oryginalne (nietransformowanych) wartości w pobliżu środka ( $1/2$ ), co sprawia, że transformacja łatwiejsze do interpretacji.

3. Aby Symetryczny ponownego Wyrażenie około $1/2.$ To znaczy, jeśli $p$ jest ponownie wyrażono jako $f(p)$ , a następnie $1-p$ zostanie ponownie wyrażono jako $-f(p)$ .

Jeśli zaczynasz z każdym wzrostem monotonicznego funkcji $g: (0,1) \to \mathbb{R}$ różniczkowalnej na $1/2$ można dostosować go do spełnienia kryteriów drugie i trzecie: wystarczy zdefiniować

Licznik jest wyraźnie symetryczne (kryterium $(3)$ ), ponieważ wymiany $p$ o $1-p$ odwraca odejmowanie, przez co można go. Aby zapoznać się z $(2)$ jest spełniony, Należy zauważyć, że mianownik jest dokładnie potrzebne, aby współczynnik $f^\prime(1/2)=1.$ przypomnieć, że jest w przybliżeniu pochodne lokalna Zachowanie funkcji z funkcją liniową; nachylenie $1=1:1$ oznacza zatem, że $f(p)\approx p$(plus stała $-1/2$ ), gdy $p$ jest dostatecznie blisko $1/2.$ Jest to sens, w którym oryginalne wartości są „dopasowane w pobliżu środka.”

Tukey nazywa to „złożoną” wersją $g$ . Jego rodzina składa się z transformacji mocy i logarytmu $g(p) = p^\lambda$ gdzie, gdy $\lambda=0$ , rozważamy $g(p) = \log(p)$ .

Spójrzmy na kilka przykładów. Gdy $\lambda = 1/2$ otrzymujemy złożony korzenie lub "Froot" $f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right)$. Kiedy$\lambda = 0$mamy logarytm złożony, czyli „flog”,$f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4.$ Oczywiście jest to tylko stała wielokrotnośćtransformacjilogit,$\log(\frac{p}{1-p})$.

Na tym wykresie odpowiada niebieska linia na $\lambda=1$ , pośrednia linia czerwona do $\lambda=1/2$ , a linia zielona do skrajnego $\lambda=0$ . Linia przerywana złota jest transformacją arcsine, $\arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2})$. „Porównywaniu” tras (kryterium,$(2)$) powoduje, że wszystkie wykresy zbiegają się w pobliżu$p=1/2.$

Najbardziej przydatne wartości parametru $\lambda$ wynoszą od $1$ do $0$ . (Można zrobić nawet cięższe ogony z ujemnymi wartościami $\lambda$ , ale to zastosowanie jest rzadkością.) $\lambda=1$ ma w ogóle nic nie robić oprócz Wyśrodkuj wartości ( $f(p) = p-1/2$ ). Gdy $\lambda$ kurczy się w kierunku zera, ogony są przyciągane dalej w kierunku $\pm \infty$ . Spełnia to kryterium nr 1. Tak więc, wybierając odpowiednią wartość $\lambda$ , możesz kontrolować „siłę” tego ponownego wyrażania w ogonach.

Jednym ze sposobów włączenia jest włączenie transformacji indeksowanej. Jednym z ogólnych sposobów jest użycie dowolnej symetrycznej (odwrotnej) skumulowanej funkcji rozkładu, tak aby i F ( x ) = 1 - F ( - x ) . Jednym z przykładów jest standardowy rozkład t-studenta z ν stopniami swobody. Parametr v kontroluje, jak szybko transformowana zmienna wędruje w nieskończoność. Jeśli ustawisz v = 1 , masz transformatę Arctana:$F(0)=0.5$$F(x)=1-F(-x)$$\nu$$v$$v=1$

Jest to o wiele bardziej ekstremalne niż arcsine i bardziej ekstremalne niż transformacja logit. Zauważ, że transformata logit może być z grubsza przybliżona przy użyciu rozkładu t z . SO w jakiś sposób zapewnia przybliżone powiązanie między transformacjami logit i probit ( ν = ∞ ) oraz ich rozszerzenie na bardziej ekstremalne transformacje.$\nu\approx 8$$\nu=\infty$

Problem z tymi transformacjami polega na tym, że dają one gdy zaobserwowana proporcja jest równa 1 lub 0 . Musisz je jakoś zmniejszyć - najprostszym sposobem jest dodanie + 1 „sukcesów” i + 1 „niepowodzeń”.$\pm\infty$$1$$0$$+1$$+1$