Wyprowadzenie dwuwymiarowego rozkładu Poissona

Niedawno spotkałem dwuwymiarowy rozkład Poissona, ale jestem trochę zdezorientowany, jak można go uzyskać.

Rozkład podaje:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Z tego, co mogę zebrać, pojęcie $\theta_{0}$ jest miarą korelacji między $X$ i $Y$ ; stąd, gdy $X$ i $Y$ są niezależne, $\theta_{0} = 0$ a rozkład staje się po prostu iloczynem dwóch jednowymiarowych rozkładów Poissona.

Mając to na uwadze, mój zamieszanie opiera się na określenie sumy - Zakładam, że termin ten wyjaśnia zależność między $X$ i $Y$ .

Wydaje mi się, że summand stanowi pewnego rodzaju iloczyn dwumianowych skumulowanych funkcji rozkładu, w których prawdopodobieństwo „sukcesu” jest określone przez $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ a prawdopodobieństwo „awarii” podaje $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , ponieważ $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$ , ale mogę być z tym daleko.

Czy ktoś mógłby pomóc w uzyskaniu tego rozkładu? Ponadto, gdyby można było włączyć do jakiejkolwiek odpowiedzi, w jaki sposób model ten mógłby zostać rozszerzony na scenariusz wielowymiarowy (powiedzmy trzy lub więcej zmiennych losowych), byłoby świetnie!

(Na koniec zauważyłem, że wcześniej było podobne pytanie ( Zrozumienie dwuwymiarowego rozkładu Poissona ), ale tak naprawdę nie zbadano pochodnej).

— użytkownik9171
źródło

Czy pierwszy termin z wykładnikiem nie powinien być

zamiast

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-\left( \theta_1 + \theta_2 + \theta_0 \right)}$

e^{θ_{1} + θ_{2} + θ_{0}}

$e^{\theta_1 + \theta_2 + \theta_0}$

— Gilles

@Giles Niestety, na początku źle odczytałem twój komentarz - tak, masz rację; termin powinien brzmieć

. Dzięki za złapanie tego!

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})}$

— user9171,

Zasadniczo nie jest to „wielka zmienna” dla wersji jednowymiarowych z kilkoma konwencjonalnymi wyjątkami (na przykład „normalna wielowymiarowa”). Istnieje wiele sposobów uzyskania rozszerzeń wielowymiarowych, w zależności od tego, które funkcje są najważniejsze. Różni autorzy mogą mieć różne wielowymiarowe wersje wspólnych rozkładów jednowymiarowych. Tak ogólnie, można powiedzieć coś w stylu „ o wieloczynnikowej Poisson”, lub „tak a tak'S dwuwymiarowym Poissona” Ten jest całkiem naturalny, ale nie jedynym..

— Glen_b -Reinstate Monica

(ctd) ... np. niektórzy autorzy szukają wielowymiarowej dystrybucji zdolnej do negatywnej zależności, której nie posiada.

— Glen_b

Odpowiedzi:

W prezentacji slajdów Karlis i Ntzoufras definiują dwuwymiarową Poissona jako rozkład gdzie niezależnie mają rozkłady Poissona . Przypomnij sobie, że taki podział oznacza $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$ $X_i$ $\theta_i$

Par (X_{ja} = k) = {mi}^{- θ_{ja}} \frac{θ_{ja}^{k}}{k!}

$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$

dla $k=0, 1, 2, \ldots.$

Zdarzenie jest rozłącznym połączeniem zdarzeń $(X,Y)=(x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2)}) = (ja, x - ja, y - ja)

$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$

dla wszystkich które sprawiają, że wszystkie trzy składowe są nieujemnymi liczbami całkowitymi, z których możemy wywnioskować, że . Ponieważ są niezależne, ich prawdopodobieństwa się mnożą, skąd $i$ $0 \le i \le \min(x,y)$ $X_i$

{fa}_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2)})} (x, y) = Par ((X, Y) = (x, y)) = \sum_{ja = 0}^{min (x, y)} Par (X_{0} = ja) Par (X_{1} = x - ja) Par (X_{2)} = y - ja) .

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$

To jest wzór; skończyliśmy. Ale aby zobaczyć, że jest to równoważne ze wzorem w pytaniu, użyj definicji rozkładu Poissona, aby zapisać te prawdopodobieństwa w kategoriach parametrów i (zakładając, że żadne z jest zerowe) przerób je algebraicznie wyglądać jak najbardziej jak produkt : $\theta_i$ $\theta_1,\theta_2$ $\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

\begin{aligned} {fa}_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2)})} (x, y) & = \sum_{ja = 0}^{min (x, y)} ({mi}^{- θ_{0}} \frac{θ_{0}^{ja}}{ja!}) ({mi}^{- θ_{1}} \frac{θ_{1}^{x - ja}}{(x - ja)!}) ({mi}^{- θ_{2)}} \frac{θ_{2)}^{y - ja}}{(y - ja)!}) \\ = {mi}^{- (θ_{1} + θ_{2)})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2)}^{y}}{y!} ({mi}^{- θ_{0}} \sum_{ja = 0}^{min (x, y)} \frac{θ_{0}^{ja}}{ja!} \frac{x! θ_{1}^{- ja}}{(x - ja)!} \frac{y! θ_{2)}^{- ja}}{(y - ja)!}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$

Jeśli naprawdę chcesz - jest to nieco sugestywne - możesz ponownie wyrazić wyrażenia w sumie przy użyciu współczynników dwumianowych i $\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$ poddając się $\binom{y}{i}$

{fa}_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2)})} (x, y) = {mi}^{- (θ_{0} + θ_{1} + θ_{2)})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2)}^{y}}{y!} \sum_{ja = 0}^{min (x, y)} ja! (\binom{x}{ja}) (\binom{y}{ja}) {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2)}})}^{ja},

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$

dokładnie jak w pytaniu.

Uogólnienie na scenariusze wielowymiarowe może przebiegać na kilka sposobów, w zależności od potrzebnej elastyczności. Najprostszym byłoby rozważenie dystrybucji

(X_{1} + X_{0}, X_{2)} + X_{0}, \dots, X_{re} + X_{0})

$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$

dla niezależnych zmiennych rozkładu Poissona . Dla większej elastyczności można wprowadzić dodatkowe zmienne. Na przykład użyj niezależnych zmiennych Poissona i rozważ wielowymiarowy rozkład , $X_0, X_1, \ldots,X_d$ $\eta_i$ $Y_1, \ldots, Y_d$ $X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$ $i=1, 2, \ldots, d.$

— Whuber
źródło

kudos! Przy okazji, czy drugie

w dużym nawiasie przed ostatnim krokiem nie powinno być

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

e^{- θ_{2}}

$e^{-\theta_2}$

— Gilles

@Gilles Dziękujemy za złapanie literówki - naprawiłem to. Początkowy wykładnik

musiał wynosić

;

w nawiasach jest poprawne.

θ_{0} + θ_{1}

$\theta_0+\theta_1$

θ_{1} + θ_{2}

$\theta_1+\theta_2$

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

— whuber

@whuber Dzięki milion! To idealna odpowiedź!

— user9171,

@whuber Świetna odpowiedź! Nadal nie rozumiem, dlaczego zdarzenie

powinno być rozłącznym połączeniem zdarzeń

. Myślę, że jest to prawdą tylko dla

. Być może miałeś na myśli

(X, Y) = (x, y)

$(X,Y) = (x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2)=(i,x-i,y-i)$

i = 0

$i=0$

(X, Y) \leq (x, y)

$(X,Y) \leq (x,y)$ (pod względem komponentów)? Ale czy to wystarczy do scharakteryzowania funkcji dystrybucji?

— vanguard2k

@ vanguard2k Nie rozumiem twojego komentarza. Czy twierdzisz, że te wydarzenia nie są rozłączne? (Ale muszą być, ponieważ mają wyraźne wartości

). A może twierdzisz, że nie są wyczerpujące? (Jeśli tak, to wartość (y)

myślisz, nie zostały włączone?)

X_{0}

$X_0$

(X, Y)

$(X,Y)$

— whuber

Oto sposób na uzyskanie dwuwymiarowego rozkładu Poissona.

Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi poissona o parametrach . Następnie definiujemy . Zmienna , wspólna dla obu i , powoduje parę $X_0, X_1, X_2$ $\theta_0, \theta_1, \theta_2$ $Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$ $X_0$ $Y_1$ $Y_2$ do skorelowania. Następnie musimy obliczyć funkcję masy prawdopodobieństwa: $(Y_1, Y_2)$

Mam nadzieję, że to pomoże!

\begin{aligned} P. (Y_{1} = y_{1}, Y_{2)} = y_{2)}) & = P. (X_{0} + X_{1} = y_{1}, X_{0} + X_{2)} = y_{2)}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2)})} P. (X_{0} = x_{0}) P. (X_{1} = y_{1} - x_{0}) P. (X_{2)} = y_{2)} - y_{0}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2)})} {mi}^{- θ_{0}} \frac{{θ_{0}}^{x_{0}}}{x_{0}!} {mi}^{- θ_{1}} \frac{{θ_{1}}^{y_{1} - x_{0}}}{(y_{1} - x_{0})!} {mi}^{- θ_{2)}} \frac{{θ_{2)}}^{y_{2)} - x_{0}}}{(y_{2)} - x_{0})!} \\ = {mi}^{- θ_{0} - θ_{1} - θ_{2)}} {θ_{1}}^{y_{1}} {θ_{2)}}^{y_{2)}} \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2)})} {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2)}})}^{x_{0}} x_{0}! (\binom{y_{1}}{x_{0}}) (\binom{y_{2)}}{x_{0}}) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$

— kjetil b halvorsen
źródło

T E X

$\TeX$

whuber: Zacząłem pisać swoją odpowiedź, zanim opublikowałem twoją odpowiedź! inaczej nie napisałbym tego.

— kjetil b halvorsen