Co to jest CDF z dwoma próbkami

Próbuję zrozumieć, jak uzyskać wartości dla jednostronnego testu Kołmogorowa-Smirnowa i staram się znaleźć CDF dla i w przypadku dwóch próbek. Poniżej podano w kilku miejscach CDF dla w przypadku jednej próby: $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{+}_{n}$

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

Co więcej, istnieje nieco inna formuła tego jednopróbkowego CDF (zastępuję $x$ w $t$ jego cytacie za spójność z moją notacją tutaj):

Wykorzystując transformatę całkową prawdopodobieństwa, Donald Knuth wyprowadza ich (wspólny) rozkład na str. 57 i ćwiczenie 17 TAoCP Tom 2. Cytuję:

({re}_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \sum_{do \leq k \leq x} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

Odnosi się to do jednostronnych hipotez w przypadku jednej próby, takich jak: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ , gdzie $F(x)$ jest empirycznym CDF z $x$ , a $F_{0}$ to trochę CDF.

I że $x$ w tym przypadku jest to wartość $D^{+}_{n}$ w swoim próbki, a $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ jest największą liczbą całkowitą $n-nx$ . (Czy to prawda?)

Ale czym jest CDF dla (lub ), gdy ma się dwie próbki? Na przykład, gdy H dla empirycznych CDF i ? Jak uzyskać ? $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— Alexis
źródło

Podobnie jak wskaźnik dla każdego, kto szuka odpowiedzi na to pytanie - moja odpowiedź na poprzednie pytanie Alexisa (które jest powiązane z powyższym pytaniem) zawiera linki do kilku odniesień z pewną dyskusją na temat historii, z których każda zawiera szereg istotnych odniesień. Może chcesz sprawdzić te dokumenty i ich listę referencji.

— Glen_b

@Glen_b Dziękujemy! Naprawdę doceniam twoją doskonałą odpowiedź na moje inne pytanie i podążyłem za cytowanymi zasobami, ale nie dostałem żadnej troski na CDF dla tam, a raczej zamiast zagłębiać się w komentarze, myślałem, że po prostu otworzę nowe zapytanie . Dodatkowe referencje są mile widziane, jeśli znasz jakieś, które będą do tego nadawać.

D^{+}

$D^{+}$

— Alexis

Alexis: mój komentarz nie miał na celu krytyki; Twój wybór otwarcia nowego pytania był dokładnie słuszny (moim zdaniem). Chciałem tylko zaoszczędzić ludziom trochę pracy nóg w śledzeniu niektórych istotnych odniesień - pomyślałem, że niekoniecznie wszyscy mogą przyjść do twojego linku do drugiego pytania i może nie przydarzyć się ludziom, którzy zrobili te linki w moim odpowiedź zawierała pewne referencje, o których chcieliby wiedzieć.

— Glen_b

Ok, mam zamiar to zrobić. Mile widziane krytyczne spostrzeżenia.

Na stronie 192 Gibbons i Chakraborti (1992), powołując się Hodges, 1958, start z małej próbki (dokładny?) CDF dla testu dwustronnego (ja swapping ich i notacja dla i odpowiednio ): $m,n$ $d$ $n_{1},n_{2}$ $x$

P. ({re}_{n_{1}, n_{2)}} \geq x) = 1 - P. ({re}_{n_{1}, n_{2)}} \leq x) = 1 - \frac{ZA (n_{1}, n_{2)})}{(\binom{n_{1} + n_{2)}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

Gdzie powstaje przez wyliczenie ścieżek (monotonicznie rosnących w i ) od początku do punktu przez wykres z - podstawiając na - wartości x- osi i y- osi wynoszą i . Ścieżki muszą ponadto być zgodne z ograniczeniem pozostawania w granicach (gdzie jest wartością statystyki testu Kołmogorowa-Smirnowa): $A\left(n_{1},n_{2}\right)$ $n_{1}$ $n_{2}$ $\left(n_{1},n_{2}\right)$ $S_{m}(x)$ $F_{n_{1}}(x)$ $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ $x$

\frac{n_{2)}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2)}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2)}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

Poniżej znajduje się ich obraz Rysunek 3.2, podając przykład , z 12 takimi ścieżkami: $A(3,4)$

Ryc. 3.2 ze strony 193 Gibbons and Chakraborti (1992) Nieparametryczne wnioskowanie statystyczne.

Gibbons i Chakaborti twierdzą dalej, że jednostronna wartość jest uzyskiwana przy użyciu tej samej metody graficznej, ale tylko z dolną granicą dla i tylko górna dla . $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

Te małe próby obejmują algorytmy zliczania ścieżek i / lub relacje powtarzalności, co niewątpliwie czyni pożądane obliczenia asymptotyczne. Gibony i Chakraborti zauważają również ograniczające CDF, gdy i zbliżają się do nieskończoności, : $n_{1}$ $n_{2}$ $D_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2)} \to \infty} P. (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2)}}{n_{1} + n_{2)}}} {re}_{n_{1}, n_{2)}} \leq x) = 1 - 2) \sum_{ja = 1}^{\infty} {(- 1)}^{ja - 1} {mi}^{- 2) {ja}^{2)} x^{2)}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

I podają ograniczający CDF (lub ) jako: $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2)} \to \infty} P. (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2)}}{n_{1} + n_{2)}}} {re}_{n_{1}, n_{2)}}^{+} \leq x) = 1 - {mi}^{- 2) x^{2)}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

Ponieważ i są ściśle nieujemne, CDF może przyjmować tylko niezerowe wartości powyżej : $D^{+}$ $D^{-}$ $[0,\infty)$

$CDF w wysokości $ D ^ {+} $ (lub $ D ^ {-} $)$

Odnośniki
Gibbons, JD i Chakraborti, S. (1992). Nieparametryczne wnioskowanie statystyczne . Marcel Decker, Inc., wydanie trzecie, wydanie poprawione i rozszerzone.

Hodges, JL (1958). Prawdopodobieństwo istotności testu dwóch prób Smirnova. Arkiv för matematik . 3 (5): 469--486.

— Alexis
źródło

Rzeczywiste cdf istnieje wszędzie, ale dla cdf będzie wynosić zero; forma funkcjonalna, którą podałeś, dotyczy tylko (jest to łatwe do prostego rozumowania; co to jest ?

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

x \geq 0

$x\geq 0$

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$

— Glen_b