Czy pliki pdf, pmf i cdf zawierają te same informacje?

17

Dla mnie pdf podaje całe prawdopodobieństwo do pewnego punktu (w zasadzie do obszaru pod prawdopodobieństwem).

Pmf podają prawdopodobieństwo pewnego punktu.

CDF podaje prawdopodobieństwo w pewnym punkcie.

Więc dla mnie pdf i cdf mają te same informacje, ale pmf nie, ponieważ daje prawdopodobieństwo punktu xna rozkład.

— Kare
źródło

25

W przypadku rozróżnienia między funkcją prawdopodobieństwa a gęstością * pmf ma zastosowanie tylko do dyskretnych zmiennych losowych, natomiast pdf dotyczy ciągłych zmiennych losowych.

* podejścia formalne mogą obejmować zarówno jedno, jak i jedno określenie

Plik cdf ma zastosowanie do dowolnych zmiennych losowych, w tym tych, które nie mają ani pdf, ani pmf.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

( Rozkład mieszany nie jest jedynym przypadkiem dystrybucji, która nie ma pliku pdf lub pmf, ale jest to dość powszechna sytuacja - na przykład weź pod uwagę ilość deszczu w ciągu dnia lub kwotę pieniędzy wypłaconych w ramach roszczeń na polisa ubezpieczenia nieruchomości, z których każda może być modelowana przez ciągłą dystrybucję o zerowym napompowaniu)

Plik cdf dla zmiennej losowej daje $X$ $P(X\leq x)$

Pmf dla dyskretnej zmiennej losowej daje . $X$ $P(X=x)$

Sam pdf nie podaje prawdopodobieństw , ale prawdopodobieństwa względne; ciągłe rozkłady nie mają prawdopodobieństw punktowych. Aby uzyskać prawdopodobieństwa z plików pdf, musisz zintegrować przez pewien okres - lub wziąć różnicę dwóch wartości cdf.

Trudno jest odpowiedzieć na pytanie „czy zawierają te same informacje”, ponieważ zależy to od tego, co masz na myśli. Możesz przejść z pdf do cdf (przez integrację) i od pmf do cdf (przez sumowanie), i od cdf do pdf (przez różnicowanie) i od cdf do pmf (przez różnicowanie), więc jeśli istnieje pmf lub pdf, zawiera te same informacje co plik cdf.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

1

Glen, czy mógłbyś pomóc, podając jakieś odniesienie, w którym mógłbym przeczytać o „pdf dającym względne prawdopodobieństwo”? To bardzo interesujące i nie pamiętam, aby widziałem to w moich książkach. Dzięki.

— Alecos Papadopoulos

f (x)

$f(x)$

f (x) d x

$f(x)\,dx$

(x, x + d x)

$(x,x+dx)$

f (x) / g (x)

$f(x)/g(x)$

f

$f$

x

$x$

g

$g$

Widzę. Jest to z pewnością słuszne jako przybliżenie stosunku prawdopodobieństw iz pewnością obecne w empirycznych funkcjach gęstości, gdzie rzeczy są z konieczności dyskretne.

— Alecos Papadopoulos,

10

F_{X} (x) = P {X \leq x} .

$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$

X

$X$

C (x) = x

$C(x) = x$

x

$x$

x

$x$

C (x) = 0

$C(x)= 0$

x < 0

$x < 0$

C (x) = 1

$C(x) = 1$

1 < x

$1 < x$

C (x)

$C(x)$

Tak więc odpowiedź na twoje pytanie brzmi: jeśli istnieje funkcja gęstości lub masy, to jest ona pochodną CDF w odniesieniu do pewnej miary. W tym sensie niosą one „tę samą” informację. ALE pliki PDF i PMF nie muszą istnieć. CDF muszą istnieć.

— Dennis
źródło

2

Dennis, czy możesz wyjaśnić, co rozumiesz przez wyrażenie „ Brak gęstości w odniesieniu do jakiejkolwiek miary ”? Z pewnością ma gęstość (jednolitość!) Względem siebie.

— kardynał

μ

$\mu$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

μ

$\mu$

C (x)

$C(x)$ nie ma pochodnej RN.

— Dennis,

3

σ

$\sigma$

2

Inne odpowiedzi wskazują, że CDF są fundamentalne i muszą istnieć, podczas gdy pliki PDF i PMF nie są i niekoniecznie istnieją.

$S^1$

Wydaje mi się, że odpowiedź brzmi: podstawową funkcją jest miara prawdopodobieństwa , która odwzorowuje każdy (rozważany) podzbiór przestrzeni próbki na prawdopodobieństwo. Następnie, gdy istnieją, CDF, PDF i PMF powstają na podstawie miary prawdopodobieństwa.

— Joel Bosveld
źródło

1

Z mojego punktu widzenia większość podręczników definiuje „zmienną losową” jako odwzorowanie z przestrzeni próbki na liczby rzeczywiste. Zasadniczo „zmienna losowa” ma realną wartość.

— Neil G

1

(R, B, F)

$(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

Ω

$\Omega$

μ

$\mu$

F_{X} (x) = μ {ω | X (ω) \leq x} .

$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$