Dystrybucja „niezmieszanych” części na podstawie kolejności mieszania

Załóżmy, że mam sparowane obserwacje, takie jak dla . Niech i oznaczają od p największa obserwowana wartość . Jaka jest (warunkowa) dystrybucja ? (lub równoważnie z ) $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ $Z_{i_j}$ $j$ $Z$ $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

To znaczy, jaki jest rozkład , pod że jest tą największą spośród obserwowanych wartości ? $X_i$ $Z_i$ $j$ $n$ $Z$

Zgaduję, że ponieważ , rozkład zbieżny z bezwarunkowym rozkładem , natomiast jako , rozkład zbieżny do bezwarunkowego rozkładu statystyki tego rzędu z . Jednak pośrodku nie jestem pewien. $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ $X_{i_j}$ $X$ $\rho \to \infty$ $X_{i_j}$ $j$ $X$

distributions order-statistics shrinkage

— shabbychef
źródło

Usunąłem znacznik „mieszanka”, ponieważ jest to pytanie o sumę (lub równoważnie o skorelowane zmienne normalne), a nie o ich mieszankę.

— whuber

X_{i}

$X_i$ Zakłada się również, że jest niezależny od , tak?

Y_{i}

$Y_i$

— kardynał

@cardinal: tak, są niezależni.

— shabbychef

Ostatnie i powiązane pytanie, które pojawiło się na mat.SE: math.stackexchange.com/questions/38873/…

— kardynał

Rozwiązanie opublikowane na mat.SE jest koncepcyjnie identyczne z rozwiązaniem, które podam poniżej - ale sformułowane przy użyciu nieco innej terminologii.

— NRH

Odpowiedzi:

Zauważ, że zmienna losowa jest funkcją tylko . Dla , , piszemy dla indeksu tej największej współrzędnej. Niech także oznacza rozkład warunkowy dla . $i_j$ $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ $n$ $\mathbf{z}$ $i_j(\mathbf{z})$ $j$ $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ $X_1$ $Z_1$

Jeśli podzielimy prawdopodobieństwa według wartości i rozpadniemy wrt , otrzymamy $i_j$ $\mathbf{Z}$

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z_{k} = z_{k}) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P_{z_{k}} (A) P (Z \in d z) \\ = & \int P_{z} (A) P (Z_{i_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

Ten argument jest dość ogólny i opiera się wyłącznie na podanych założeniach iid, a może być dowolną funkcją . $Z_k$ $(X_k, Y_k)$

Zgodnie z założeniami rozkładów normalnych (przyjmując ) i jako suma, rozkład warunkowy dla wynosi i @probabilityislogic pokazuje, jak obliczyć rozkład , stąd mamy wyrażenia jawne dla obu rozkładów, które wchodzą w ostatnią całkę powyżej. Czy całka może być obliczona analitycznie, to kolejne pytanie. Możesz być w stanie, ale nie wiem, czy to możliwe. Do analizy asymptotycznej, gdy lub $\sigma_y = 1$ $Z_k$ $X_1$ $Z_1 = z$

N (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$ może nie być konieczne.

Intuicyjne obliczenie powyższego obliczenia polega na tym, że jest to warunkowy argument niezależności. Biorąc pod uwagę zmienne i są niezależne. $Z_{k} = z$ $X_{k}$ $i_j$

— NRH
źródło

Rozkład nie jest trudny i wynika z rozkładu związku Beta-F: $Z_{i_{j}}$

p_{Z_{i_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

Gdzie jest standardowym normalnym plikiem PDF, a jest standardowym normalnym plikiem CDF, a . $\phi(x)$ $\Phi(x)$ $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$

Teraz, jeśli otrzymujesz, że , to jest funkcją 1-do-1 , a mianowicie . Sądzę więc, że powinno to być proste stosowanie reguły jakobianów. $Y_{i_{j}}=y$ $X_{i_{j}}$ $Z_{i_{j}}$ $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

To wydaje się zbyt łatwe, ale myślę, że jest poprawne. Cieszę się, że widzimy się źle.

— prawdopodobieństwo prawdopodobieństwa
źródło

Źle zrozumiałeś pytanie. Szukam dystrybucji w funkcji . W rzeczywistości nie obserwuję i i nie mogę ich uzależniać. Można założyć, , że , a zatem rozważ tylko parametry .

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$

— shabbychef

ok - więc w zasadzie musisz usunąć z tego równania? (zintegrowane)

y

$y$

— prawdopodobieństwo jest

tak; i nie jest niezależny od Z ...

— shabbychef