Rzutka moneta jest rzucana, dopóki głowa nie pojawi się po raz pierwszy. Prawdopodobieństwo, że tak się stanie na losowaniu liczb nieparzystych, jest?

10

Rzutka moneta jest rzucana, dopóki głowa nie pojawi się po raz pierwszy. Prawdopodobieństwo, że tak się stanie na losowaniu liczb nieparzystych, jest? Jak podejść do tego problemu?

probability

— użytkownik157104
źródło

4

To wydaje się być typowym pytaniem do pracy domowej / samodzielnej nauki i jako takie powinno mieć self-studytag. Zobacz stats.stackexchange.com/tags/self-study/info

— Patrick

19

Zsumuj prawdopodobieństwa pojawienia się monet po raz pierwszy na rzutach 1, 3, 5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

termin jest dość oczywiste, to prawdopodobieństwo pierwszy rzut będących głowami. $1/2$
termin jest prawdopodobieństwo uzyskania głowy po raz pierwszy w trzecim rzucie lub sekwencji TTH. Ta sekwencja jest prawdopodobieństwo . $1/2^3$ $1/2 * 1/2 * 1/2$
termin jest prawdopodobieństwo uzyskania głowy po raz pierwszy w piątym rzucie lub sekwencji TTTTH. Ta sekwencja jest prawdopodobieństwo . $1/2^5$ $1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

Teraz możemy przepisać powyższą serię jako

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

Jest to geometryczne serii , która sumuje się . Najłatwiej to pokazać za pomocą wizualnego przykładu. Zacznij od serii $2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

Jest to szereg geometryczny, który sumuje się do . $1$

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ... = 1

Jeśli zsumujemy tylko parzyste warunki tej serii, widzimy, że sumują się do . $1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3

$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

— Bill jaszczurka
źródło

11

$p_o$ $p_e$ $p_o+p_e=1$ $p_e$ równa się prawdopodobieństwu czasu pierwszego rzutu ogonem $p_o$ . A zatem $p_e = 1/2\cdot p_o$ ; $p_o+1/2\cdot p_o = 1$ ; $p_o = 2/3$ .

— Christopher D. Long
źródło

Czy możesz rozwinąć „... mamy również, że pe równa się prawdopodobieństwu pierwszego rzutu ogonem razy po”.

— MackM