Funkcje generujące moment i transformaty Fouriera?

Czy funkcja generująca moment jest transformatą Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa?

Innymi słowy, czy funkcja generująca moment jest po prostu rozdzielczością widmową rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej, tj. Równoważnym sposobem scharakteryzowania funkcji pod względem jej amplitudy, fazy i częstotliwości zamiast parametru?

Jeśli tak, to czy możemy dać fizyczną interpretację tej bestii?

Pytam, ponieważ w fizyce statystycznej funkcja generowania skumulowanego , logarytm funkcji generującej moment, jest wielkością addytywną charakteryzującą układ fizyczny. Jeśli myślisz o energii jako zmiennej losowej, to jej funkcja generowania skumulowanego ma bardzo intuicyjną interpretację jako rozkład energii w systemie. Czy istnieje podobna intuicyjna interpretacja funkcji generowania momentu?

Rozumiem matematyczną użyteczność tego, ale to nie jest tylko sztuczka, z pewnością kryje się za tym sens koncepcyjnie?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
źródło

Uważam, że jest to funkcja charakterystyczna, która bardziej przypomina transformatę Fouriera. Funkcja generowania momentu to transformata Laplace'a.

— Placidia

Ciekawe: „Transformacja Laplace'a jest związana z transformacją Fouriera, ale podczas gdy transformata Fouriera przekształca funkcję lub sygnał w tryby wibracji, transformata Laplace'a przekształca funkcję w swoje chwile” princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /… Wydaje mi się, że pytanie brzmi - w jaki sposób intuicyjnie transformata Laplace'a rozkłada funkcję na swoje momenty i czy istnieje jej geometryczna interpretacja?

— bolbteppa

Dokonuje tego dzięki rozszerzeniu funkcji wykładniczej szeregu Taylora.

— Placidia

Teraz wszystko ma sens! Czym jednak jest moment intuicyjnie? Wiem o tym: „Ogólnie rzecz biorąc, można rozważyć moment, w którym próbka odbiega od średniej wartości sygnału - pierwszy moment jest w rzeczywistości średnią, drugi to wariancja itp.” Dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Co to jednak oznacza intuicyjnie? Jaka jest próbka przy obliczaniu 1. / 2. / 3. / 4. momentu powiedzmy x ^ 2 (biorąc transformatę Laplace'a x ^ 2)? Czy istnieje interpretacja geometryczna?

— bolbteppa

MGF jest

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

dla rzeczywistych wartości tam, gdzie istnieje oczekiwanie. Pod względem funkcji gęstości prawdopodobieństwa , $t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

To nie jest transformacja Fouriera (która miałaby zamiast . $e^{itx}$ $e^{tx}$

Funkcja generowania momentu jest prawie dwustronną transformacją Laplace'a, ale dwustronna transformata Laplace'a ma raczej niż . $e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Brian Borchers
źródło

+1 Na marginesie: funkcja charakterystyczna jest funkcją, która jest bliżej związana z transformacją Fouriera (w tym przypadku znowu jest mały problem znaku minus) - cf to , podczas gdy - aż do stałych multiplikatywnych - zwykłą transformatą Fouriera byłoby . Połączenia te okazują się czasem bardzo przydatne, takie jak znajdowanie list przydatnych właściwości transformacji Fouriera lub Laplace'a, które zwykle przenoszą się bezpośrednio, lub możliwość wyszukiwania obszernych tabel transformacji Fouriera lub Laplace'a podczas znajdowania MGF lub cfs.

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

— Glen_b

Oczywiście najbardziej użyteczną właściwością jest to, że MGF sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest iloczynem ich funkcji generujących moment. Jest to równoważne regule, że transformata Fouriera splotu dwóch funkcji jest iloczynem ich transformacji Fouriera.

— Brian Borchers,