Znaczenie oznaczeń prawdopodobieństwa

27

Jaka jest różnica w znaczeniu między zapisem i które są powszechnie używane w wielu książkach i artykułach? $P(z;d,w)$ $P(z|d,w)$

probability notation

— Uczeń
źródło

13

f (x; θ) jest takie samo jak f (x | θ), co oznacza po prostu, że θ jest stałym parametrem, a funkcja f jest funkcją x. f (x, Θ), OTOH, jest elementem rodziny (zestawu) funkcji, w którym elementy są indeksowane przez Θ. Może subtelne rozróżnienie, ale ważne, zwłaszcza. kiedy przychodzi czas na oszacowanie nieznanego parametru θ na podstawie znanych danych x; w tym czasie θ zmienia się, a x jest ustalone, co powoduje „funkcję prawdopodobieństwa”. Użycie „|” występuje częściej wśród statystyk, „;” wśród matematyków.

— jbowman

Tak, łucznik ma rację. Czasami nazywamy to gęstością X podaną Θ.

— Michael R. Chernick,

@jbowman, dlaczego nie opublikować tego jako odpowiedzi? Moje jedyne pytanie brzmi - dlaczego mieliby używać obu, ale zakładam, że ma to coś wspólnego z kontekstem („|” jest używane z „P” i „;” z „

f

$f$ ”).

— Abe

Dobre myślenie, Abe; to chyba to. Przypuszczam, że

f

$f$ jest bardziej ogólny.

— łucznik

12

Wierzę, że źródłem tego jest paradygmat prawdopodobieństwa (chociaż nie sprawdziłem faktycznej poprawności historycznej poniżej, jest to rozsądny sposób zrozumienia, jak powstało iot).

Powiedzmy, że w ustawieniu regresji miałbyś rozkład: p (Y | x, beta) Co oznacza: rozkład Y, jeśli znasz (warunkowo) wartości x i beta.

Jeśli chcesz oszacować bety, chcesz zmaksymalizować prawdopodobieństwo: L (beta; y, x) = p (Y | x, beta) Zasadniczo patrzysz teraz na wyrażenie p (Y | x, beta) jako funkcja beta, ale poza tym nie ma różnicy (w przypadku poprawnych wyrażeń matematycznych, które można poprawnie wyprowadzić, jest to konieczność --- chociaż w praktyce nikt nie przeszkadza).

Następnie, w ustawieniach bayesowskich, różnica między parametrami i innymi zmiennymi wkrótce zanika, więc jeden zaczął używać obu notacji z domieszkami.

Zasadniczo: nie ma rzeczywistej różnicy: oba wskazują warunkową dystrybucję rzeczy po lewej stronie, zależną od rzeczy po prawej stronie.

— Nick Sabbe
źródło

23

to gęstość zmiennej losowej w punkcie , przyczym jest parametrem rozkładu. to łączna gęstość i w punkcie i ma sens tylko wtedy, gdy jest zmienną losową. jest rozkładem warunkowym podanym i znowu ma sens tylko wtedy, gdy $f(x;\theta)$ $X$ $x$ $\theta$ $f(x,\theta)$ $X$ $\Theta$ $(x,\theta)$ $\Theta$ $f(x|\theta)$ $X$ $\Theta$ jest zmienną losową. Stanie się to znacznie wyraźniejsze, gdy zagłębisz się w książkę i przyjrzysz się analizie bayesowskiej. $\Theta$

— PeterR
źródło

Uhhhh ...

jest rozkładem warunkowym

podanym

ma idealny sens, nawet jeśli

nie jest zmienną losową. Jest to prawie standardowa notacja w klasycznej statystyce, gdzie

nie jest zmienną losową.

f (x | θ)

$f(x|\theta)$

x

$x$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— jbowman

Uhhhh ... jeśli interpretujesz to jako P [Θ = θ] = 1 (lewy Θ jest zmienną losową, prawy θ jest stałą), to zgadzam się. W przeciwnym razie nie ... bo cóż zatem oznaczałoby P [Θ = θ] w mianowniku definicji rozkładu warunkowego?

— PeterR

Mianownik? Potrafię napisać

gdzie

jest rozkładem normalnym bez odniesienia do reguły Bayesa.

i

są stałe. Inni też to robią, na przykład ll.mit.edu/mission/communications/ist/publications/… .

x \sim f (x | μ, σ)

$x \sim f(x | \mu, \sigma)$

f

$f$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— jbowman

jbowman, więc jaka jest definicja twojego f (x | μ, σ) jako gęstości warunkowej, gdy μ i σ są liczbami stałymi (tj. nie zmiennymi losowymi)?

— PeterR

1

Słowo „warunkowe”, powiązane z notacją f (X | Y), jest zdefiniowane jako „warunkowe po wystąpieniu pewnego zdarzenia losowego”. Jeśli używasz go do oznaczania czegoś innego, na przykład po prostu „dane”, jak w „f (x) danym (konkretne wartości) μ i σ”, to właśnie to jest zapis f (x; μ, σ) jest dla. Ponieważ PO pytał o to, co oznacza notacja, powinniśmy sprecyzować notację w odpowiedzi.

— PeterR

18

$f(x;\theta)$ jest takie samo jak $f(x|\theta)$ , co oznacza po prostu, że $\theta$ jest stałym parametrem, a funkcja $f$ jest funkcją $x$ . $f(x,\Theta)$ , OTOH, jest elementem rodziny (lub zestawu) funkcji, w którym elementy są indeksowane przez $\Theta$ . Może subtelne rozróżnienie, ale ważne, zwłaszcza. kiedy przychodzi czas na oszacowanie nieznanego parametru $\theta$ na podstawie znanych danych $x$ ; w tym czasie $\theta$ zmienia, a $x$ jest naprawiony, co powoduje „funkcję wiarygodności”. Użycie $\mid$ jest bardziej powszechne wśród statystyk, natomiast $;$ wśród matematyków.

— łucznik
źródło

1

Jak

werbalnie? Czy mówisz „f z x dany θ”?

f (x; θ)

$f(x;θ)$

— stackoverflowuser2010

@ stackoverflowuser2010 - tak, dokładnie tak.

— jbowman

2

W niektórych filmach Coursera znalazłem, że profesor Stanford, Andrew Ng, określa średnik jako „sparametryzowany przez”. Zobacz: class.coursera.org/ml-005/lecture/34 . Zatem przykład byłby wymawiany jako „f z x sparametryzowany przez theta”.

— stackoverflowuser2010

5

Powiedzenie „dany” lub „warunkowy” różni się (ogólnie) od „sparametryzowanego”. Nienawidzę, jeśli ktoś to zobaczy i pomyśli, że oba są równoważne. Powiedzenie „sparametryzowane” jest właściwe tylko wtedy, gdy uwarunkowana ilość jest parametrem indeksującym pdf zmiennej w pierwszym terminie. W przypadku dwóch zmiennych (np. F (x; y)) użycie tego terminu byłoby błędne.

— ATJ,

2

@MikeWilliamson - Jasne, wybierz notację, w której wiesz, co wszystko znaczy, i trzymaj się tego! W ten sposób, kiedy wracasz do czegoś, co zrobiłeś wcześniej, jak 4 godziny wcześniej z mojego doświadczenia, nie musisz zastanawiać się, co miałeś na myśli, kiedy używałeś tego „|”. Zgadzam się, to irytujące, ale po chwili po prostu obserwujesz pierwsze użycie notacji i zapamiętujesz ją do końca artykułu / książki; w każdym razie rozróżnienia zwykle nie są ważne.

— jbowman

9

Chociaż nie zawsze tak było, obecnie jest zwykle używane, gdy nie są zmiennymi losowymi (co nie znaczy, że są one koniecznie znane). oznacza warunkowanie na wartościach . Uwarunkowanie jest operacją na zmiennych losowych i jako takie użycie tej notacji, gdy nie są zmiennymi losowymi, jest mylące (i tragicznie powszechne). $P(z; d, w)$ $d,w$ $P(z | d, w)$ $d,w$ $d, w$

$p(y|X, \Theta)$ $y$ $\Theta$

— JMS
źródło

2

X

$X$