Zacznę od stwierdzenia, że ​​jest to zadanie domowe od samego początku. Spędziłem kilka godzin, szukając sposobu na znalezienie oczekiwanych wartości i zdecydowałem, że nic nie rozumiem.

Niech $X$ ma CDF $F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$ .
Znajdź $E(X)$ dla tych wartości dla których$\alpha$$E(X)$ istnieje .

Nie mam pojęcia, jak to rozpocząć. Jak mogę ustalić, które wartości istnieją? Nie wiem też, co zrobić z CDF (zakładam, że to oznacza funkcję dystrybuowania skumulowanego). Istnieją formuły do ​​znalezienia oczekiwanej wartości, gdy masz funkcję częstotliwości lub funkcję gęstości. Wikipedia twierdzi, że CDF X można zdefiniować w funkcji gęstości prawdopodobieństwa f w następujący sposób:$\alpha$$X$$f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

To jest tak daleko, jak to możliwe. Gdzie mogę się stąd udać?

EDYCJA: Chciałem umieścić $x\ge1$ .

Edytowane dla komentarza z probabilislogic

Zauważ, że $F(1)=0$ w tym przypadku, więc rozkład ma prawdopodobieństwo, że $0$ będzie mniejsze niż $1$ , więc $x \ge 1$ , a także będziesz potrzebować $\alpha > 0$ dla rosnącego cdf.

Jeśli masz plik cdf, to chcesz anty-całki lub pochodnej, która ma ciągły rozkład taki jak ten

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

i na odwrót dla x ≥ 1 .$F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

Następnie, aby znaleźć oczekiwanie, które musisz znaleźć

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

pod warunkiem, że to istnieje. Rachunek pozostawiam tobie.

Użycie funkcji gęstości nie jest konieczne

Zintegruj 1 minus CDF

Jeśli masz losową zmienną która ma podparcie, które nie jest ujemne (to znaczy, że zmienna ma niezerową gęstość / prawdopodobieństwo tylko wartości dodatnich), możesz użyć następującej właściwości:$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

Podobna właściwość ma zastosowanie w przypadku dyskretnej zmiennej losowej.

Dowód

Ponieważ ,$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

Następnie zmień kolejność integracji:

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

Uznając, że jest zmienną fikcyjną, lub przyjmując proste podstawienie t = x i d t = d x ,$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

Przypisanie

Użyłem Formuły do ​​specjalnych przypadków w artykule Oczekiwana wartość na Wikipedii, aby odświeżyć moją pamięć na dowodzie. Ta sekcja zawiera również dowody dla dyskretnego przypadku zmiennej losowej, a także dla przypadku, w którym nie istnieje funkcja gęstości.

The result extends to the $k$th moment of $X$ as well. Here is a graphical representation:

$x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$.

What you "know" about CDFs is that they eventually approach zero as the argument $x$ decreases without bound and eventually approach one as $x \to \infty$. They are also non-decreasing, so this means $0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$ for all $y\leq x$.

So if we plug in the CDF we get:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

From this we conclude that the support for $x$ is $x\geq 1$. Now we also require $\lim_{x\to\infty} F(x)=1$ which implies that $\alpha>0$

To work out what values the expectation exists, we require:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

And this last expression shows that for $E(X)$ to exist, we must have $-\alpha<-1$, which in turn implies $\alpha>1$. This can easily be extended to determine the values of $\alpha$ for which the $r$'th raw moment $E(X^{r})$ exists.

The Answer requiring change of order is unnecessarily ugly. Here's a more elegant 2 line proof.

$\int udv = uv - \int vdu$

Now take $du = dx$ and $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$