Jaka jest częstotliwość odcięcia filtra średniej ruchomej?

Muszę zaprojektować filtr średniej ruchomej, który ma częstotliwość odcięcia 7,8 Hz. Wcześniej używałem filtrów średniej ruchomej, ale o ile mi wiadomo, jedynym parametrem, który można podać, jest liczba punktów, które należy uśrednić ... Jak to może się odnosić do częstotliwości odcięcia?

Odwrotność 7,8 Hz wynosi ~ 130 ms, a ja pracuję z danymi, które są próbkowane przy 1000 Hz. Czy to oznacza, że ​​powinienem używać ruchomego średniego rozmiaru okna filtru wynoszącego 130 próbek, czy jest coś jeszcze, czego mi brakuje?

Filtr średniej ruchomej (czasami nazywany potocznie filtrem boxcar ) ma prostokątną odpowiedź impulsową:

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

Lub inaczej stwierdzono:

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

Pamiętając, że odpowiedź częstotliwościowa układu z czasem dyskretnym jest równa transformacie Fouriera z czasem dyskretnym odpowiedzi impulsowej, możemy ją obliczyć w następujący sposób:

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

Aby to uprościć, możemy użyć znanego wzoru na sumę pierwszych terminów serii geometrycznej$N$ :

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

W twoim przypadku najbardziej interesuje nas odpowiedź wielkościowa filtra,. Za pomocą kilku prostych manipulacji możemy uzyskać to w łatwiejszej do zrozumienia formie:$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

To może nie wyglądać łatwiejsze do zrozumienia. Jednak ze względu na tożsamość Eulera pamiętaj, że:

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

Dlatego możemy napisać powyższe jako:

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

Jak już wcześniej powiedziałem, naprawdę niepokoi Cię wielkość odpowiedzi częstotliwościowej. Możemy więc wziąć pod uwagę wielkość powyższego, aby jeszcze bardziej uprościć:

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

Uwaga: Jesteśmy w stanie usunąć wykładnicze terminy, ponieważ nie wpływają one na wielkość wyniku; dla wszystkich wartości . Ponieważdla dowolnych dwóch skończonych liczb zespolonych i możemy wywnioskować, że obecność składników wykładniczych nie wpływa na całkowitą odpowiedź wielkości (zamiast tego wpływa na odpowiedź fazową systemu).$|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

Wynikowa funkcja w nawiasach wielkości jest formą jądra Dirichleta . Czasami nazywa się to okresową funkcją sinc , ponieważ z wyglądu przypomina nieco funkcję sinc , ale zamiast tego jest okresowa.

W każdym razie, ponieważ definicja częstotliwości odcięcia jest nieco nieokreślona (punkt -3 dB? -6 dB punkt? Pierwsza sidelobe zero?), Możesz użyć powyższego równania, aby rozwiązać wszystko, czego potrzebujesz. W szczególności możesz wykonać następujące czynności:

1. Ustawna wartość odpowiadającą żądanej odpowiedzi filtra przy częstotliwości odcięcia.$|H(\omega)|$

2. Ustaw równe częstotliwości odcięcia. Aby odwzorować częstotliwość ciągłego czasu na domenę czasu dyskretnego, pamiętaj, że , gdzie to częstotliwość próbkowania.$\omega$$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. Znajdź wartość która zapewnia najlepszą zgodność między lewą i prawą stroną równania. To powinna być długość średniej kroczącej.$N$

Jeżeli jest długością średniej ruchomej, to przybliżona częstotliwość odcięcia F c o (ważna dla N > = 2 ) przy znormalizowanej częstotliwości F = f / f s wynosi:$N$$F_{co}$$N >= 2$$F=f/fs$

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

Odwrotnością tego jest

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

Ta formuła jest asymptotycznie poprawna dla dużych N i ma około 2% błędu dla N = 2 i mniej niż 0,5% dla N> = 4.

PS: Po dwóch latach w końcu zastosowaliśmy to podejście. Wynik oparto na aproksymacji widma amplitudy MA wokół jako paraboli (seria 2 rzędu) zgodnie z$f=0$

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

które mogą być dokładniejsze w pobliżu przejścia przez zero przez pomnożenieΩprzez współczynnik$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$$\Omega$

$\alpha=0.95264$

otrzymując $MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

Rozwiązanie daje powyższe wyniki, gdzie2πFco=Ωco.$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$$2\pi F_{co}=\Omega_{co}$

Wszystkie powyższe dotyczą częstotliwości odcięcia -3dB, która jest przedmiotem tego postu.

Czasami interesujące jest uzyskanie profilu tłumienia w paśmie zatrzymania, który jest porównywalny z filtrem filtra dolnoprzepustowego II rzędu 1 (jednobiegunowy LPF) o danej częstotliwości odcięcia -3dB (taki LPF jest również nazywany integratorem nieszczelności, posiadanie bieguna nie dokładnie w DC, ale blisko niego).

$F=k/N$$1/f$$1/f$

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

Jeśli ktoś chce uzyskać filtr MA z podobnymi możliwościami filtrowania szumów jak ten filtr IIR i dopasowuje częstotliwości odcięcia 3dB, aby były takie same, po porównaniu dwóch widm zdałby sobie sprawę, że tętnienie pasma zatrzymania filtra MA kończy się ~ 3dB poniżej filtru IIR.

Aby uzyskać takie samo tętnienie pasma stop (tj. Takie samo tłumienie mocy szumu) jak filtr IIR, formuły można zmodyfikować w następujący sposób:

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$