Warunki macierzy wstępnego kodowania w celu zachowania złożonej symetrii sprzężonej w wektorze DFT

10

Załóżmy, że istnieje wektor DFT o długości N, który przedstawia złożoną symetrię sprzężoną wokół jego środkowego punktu, tj. , i tak dalej. i są odpowiednio częstotliwością prądu stałego i częstotliwością Nyquista, dlatego są liczbami rzeczywistymi. Pozostałe elementy są złożone. $\mathbf{X}$ $X(1) = X(N-1)^*$ $X(2) = X(N - 2)^*$ $X(0)$ $X(N/2)$

Załóżmy teraz, że istnieje macierz o rozmiarze , która zwielokrotnia wektor X. $\mathbf{T}$ $N \times N$

\begin{aligned} Y = T X \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$

Pytanie brzmi:

W jakich warunkach dla macierzy zachowana jest złożona symetria sprzężona wokół środkowego punktu wynikowego wektora ? $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

Motywacją tego pytania jest próba wymyślenia macierzy wstępnego kodowania która daje w wyniku wstępnie zakodowany (wstępnie wyrównany) symbol którego IFFT jest prawdziwy. $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

EDYTOWAĆ:

Dzięki @MattL. i @niaren. Trudność związana z tym pytaniem polega na znalezieniu niezbędnych warunków. Odpowiedź Matta jest rzeczywiście wystarczająca. Wystarczy również wprowadzić następujące modyfikacje:

Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna nie muszą mieć wartości zero. Zamiast tego mogą być niezerowe, o ile ich wartości przedstawiają złożoną symetrię sprzężoną wokół punktu środkowego, jego pierwsza wartość jest prawdziwa, a jej -ta wartość jest prawdziwa, podobnie jak symbol. To samo można powiedzieć o -tej kolumnie, -tym rzędzie i głównej przekątnej. $(N/2+1)$ $(N/2+1)$ $(N/2+1)$

Po drugie, ta sama zgodność między macierzą w lewym górnym rogu i prawym dolnym rogu może być wykonana między prawym górnym rogiem a lewym dolnym rogiem, to znaczy, wybierz macierz zaczynając od do , odwróć od lewej do prawej, odwróć do góry nogami i weź koniugat, a następnie umieść w lewym dolnym rogu. W MATLAB byłoby to: $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ $t_{2,N/2 + 2}$ $t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Ta struktura jest podobna do struktury matrycy DFT. Czy byłby to konieczny warunek?

EDYCJA (2):

Poniższy kod implementuje taki poprawny operator dla dowolnej macierzy macierzy : $N \times N$ $\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDYCJA (3):

Warto również zauważyć, że przedstawia wystarczający warunek. Wynika to z faktu, że: $\mathbf{T}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(W A W^{H})}^{- 1} \\ = {(W^{H})}^{- 1} A^{- 1} W^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$ gdzie to macierz DFT.

W

$\mathbf{W}$

Ponieważ . To równanie staje się: $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(N W^{- 1})}^{- 1} A^{- 1} \frac{1}{N} W^{H} \\ = W A^{- 1} W^{H} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$

Wreszcie, ponieważ ma prawdziwą wartość, pod warunkiem, że ma pełną rangę, jest wystarczający. $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{T}^{-1}$

dft equalization linear-algebra

— Igorauad
źródło

Prześpię się, zanim przejdę do dalszych szczegółów, ale tylko do rozważenia: nawet jeśli ograniczenie matrycy diagonalnej nie jest konieczne, można to zrobić bez utraty ogólności, ponieważ wszystko jest możliwe wektory mogą zostać wygenerowane. Czy sie zgadzasz?

T

$\mathbf{T}$

Y

$\mathbf{Y}$

— Matt L.

Jasne, zgadzam się z tym.

— Igorauad

1

Myślę, że wpisy w twojej macierzy muszą być zgodne . To znaczy, że wpisy w wierszu są takie same jak współczynniki w rzędzie n, ale gdzie współczynniki są sprzężone i odwrócone. Wzór w dla to $\bf{T}$ $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$ $N-n+1$ $\bf{T}$ $N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Jestem pewien, że ktoś wymyśli lepszą i bardziej precyzyjną odpowiedź.

— niaren
źródło

Co z komponentem DC? Składnik DC jest produktem wewnętrznym pierwszego wiersza z (złożonym) wektorem . Jak to będzie wycenione?

Y

$\mathbf{Y}$

T

$\mathbf{T}$

X

$\mathbf{X}$

— Matt L.,

1

Zostawiłem to jako ćwiczenie dla OP, aby napchać te dwa rzędy kaszlem . Ale nie rozumiem, jak dojść do wniosku, że zadziała tylko matryca diagonalna (nie mówiąc, że się mylisz).

— niaren

Naprawdę mogę się mylić. Kiedy będę miał więcej czasu, pomyślę o tym jeszcze raz ... Powiedzmy to tak: macierz diagonalna (z sprzężoną symetrią) zadziała w każdym przypadku.

— Matt L.,

-1

Jeśli się nie mylę, jedynym rozwiązaniem dla które jest niezależne od wektora jest macierz diagonalna (złożona), w której przekątna spełnia złożoną symetrię sprzężoną. $\mathbf{T}$ $\mathbf{X}$

EDYCJA: OK, pomyliłem się. Przekątna jest w porządku, ale nie jest konieczna. Macierz musi mieć następującą ogólną strukturę: elementy i muszą mieć wartość rzeczywistą (odpowiadają DC i Nyquist). Oprócz pierwszy wiersz i kolumna zawierają tylko zera. Dla elementów od do wybierz arbitraż $\mathbf{T}$ $t_{11}$ $t_{N/2+1,N/2+1}$ $t_{11}$ $t_{22}$ $t_{N/2,N/2}$ $(N/2-1)\times (N/2-1)$ matryca. Następnie użyj tej macierzy arbitrażu, aby utworzyć nową macierz, zamieniając wszystkie rzędy (pierwszy rząd staje się ostatnim, drugi rząd staje się drugim ostatnim itd.), Odwracając rzędy od lewej do prawej i koniugując. Następnie umieść tę submatrix w prawym dolnym rogu całkowitej macierzy . Wszystkie pozostałe elementy muszą wynosić zero. Zdaję sobie sprawę, że trudno jest to zrozumieć bez wizualizacji, więc dodam ją później, gdy będę miał więcej czasu. $\mathbf{T}$ $\mathbf{T}$

— Matt L.
źródło