Dlaczego dodanie do siebie opóźnionej wersji sygnału tworzy filtrowany sygnał?

9

Zadano mi to pytanie i nie mogłem znaleźć odpowiedzi na miejscu, która nie obejmowała dziedziny częstotliwości (w zasadzie, że współczynniki sekwencji opóźniającej są odpowiedzią impulsową filtra FIR).

Czy ktoś ma wgląd, który czyni ten proces „oczywistym”?

filters

— Tom Kealy
źródło

9

Gdy opóźniasz sygnał o $T$ sekund i dodaj go do samego sygnału, anulujesz lub zerujesz składową sygnału na częstotliwości $\frac{1}{2T}$ Hz, ponieważ ta składowa sygnału zmieni fazę dokładnie o $\pi$ :

\begin{aligned} grzech (2) π \frac{1}{2) T.} t + θ) + grzech (2) π \frac{1}{2) T.} (t - T.) + θ) & = grzech (2) π \frac{1}{2) T.} t + θ) + grzech (2) π \frac{1}{2) T.} t + θ - π) \\ = grzech (2) π \frac{1}{2) T.} t + θ) + grzech (2) π \frac{1}{2) T.} t + θ) sałata (π) \\ - sałata (2) π \frac{1}{2) T.} t + θ) grzech (π) \\ = grzech (2) π \frac{1}{2) T.} t + θ) - grzech (2) π \frac{1}{2) T.} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$ Podobna rzecz dzieje się przy nieparzystych wielokrotnościach

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Hz również. W przypadku częstotliwości w pobliżu anulowanie nie jest tak kompletne i oczywiście w nawet wielokrotnościach

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Hz, składowa sygnału jest podwojona zamiast kasowana. Podobnie, jeśli opóźniony sygnał ma zmniejszoną amplitudę, anulowanie nie jest zakończone przy

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Hz itp.

Podsumowując, sygnał jest filtrowany, ponieważ przepuszczane są różne częstotliwości z różnymi wzmocnieniami.

Jeśli potrzebujesz wyjaśnienia w dziedzinie częstotliwości, funkcja przesyłania $H(f)$ systemu to transformata Fouriera tego, co odpowiedź Matta dała jako odpowiedź impulsowa, a mianowicie.

fa [δ (t) + δ (t - T.)] = 1 + \exp (- jot 2) π fa T.)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$ która jest niekonsekwentną funkcją

f

$f$ (w rzeczywistości,

| H (f) |

$|H(f)|$ różni się sinusoidalnie od maksimum

2

$2$ do minimum

0

$0$ jak omówiono powyżej) i tak dalej

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$ nie jest wielokrotnością skalarną

X (f)

$X(f)$ . Filtracja!

— Dilip Sarwate
źródło

Przepraszam za opóźnienie - jak bym stąd przeszedł (że filtrowanie to interferencja) do konieczności filtrowania to splot dwóch sygnałów? Widzę to (algebraicznie) z sumy formuły dwóch cosinusów, ale nie mogę zrozumieć, dlaczego.

— Tom Kealy

Wyjaśnij, co rozumiesz przez „filtrowanie to zakłócenia”. W ogóle nie rozumiem tego pojęcia

— Dilip Sarwate

Właśnie ustaliliśmy (czy my?), Że dodanie dwóch sygnałów razem z różnymi fazami jest równoważne filtrowaniu z opóźnieniem czasowym, ponieważ fale zakłócają. Jak miałbym przejść (w dziedzinie czasu) stamtąd do splotu?

— Tom Kealy

Nadal nie rozumiem pytania.

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$ jest wyjściem filtra z odpowiedzią impulsową

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$ którego wkład bywa

x (t)

$x(t)$ , jak wskazano w odpowiedzi Matta. Jeśli chcesz zapisać dane wyjściowe jako splot, możesz napisać

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) h (u) re u = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) [δ (u) + δ (u - T.)] re u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$ gdzie, gdy oceniasz całki za pomocą właściwości przesiewania impulsów, otrzymujesz

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$ który już wiedziałeś.

— Dilip Sarwate

6

Jeśli zdefiniujesz filtrowanie (liniowy niezmiennik czasowy) jako splot, odpowiedź jest oczywista: suma sygnału i jego opóźniona wersja mogą być zapisane jako splot z odpowiedzią impulsową $h(t)$ :

h (t) = δ (t) + δ (t - T.)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$ gdzie

T

$T$ to opóźnienie między dwiema wersjami sygnału.

— Matt L.
źródło

4

Jeżeli opóźnienie czasowe opóźnionej dodanej wersji sygnału wynosi dokładnie jeden cykl dowolnej treści okresowej, wówczas moc wyjściowa zostanie dodatkowo zwiększona. Jeśli opóźnienie wynosi dokładnie połowę okresu dowolnego komponentu sinusoidalnego, wówczas komponent ten będzie destrukcyjnie zakłócał, a zatem wyzerowany na wyjściu. Jeśli opóźnienie wynosi zero, wówczas sygnał zostanie podwojony. W przypadku kombinacji częstotliwości / fazy, które są pomiędzy całkowitą destrukcyjną interferencją lub całkowitym dodaniem, wynik addytywny również będzie pomiędzy.

Zwiększanie i zmniejszanie mocy wyjściowej w zależności od zawartości częstotliwości na wejściu jest typowym filtrowaniem.

— hotpaw2
źródło