Jaka jest faza i wielkość odpowiedzi białego szumu?

Chciałbym stworzyć biały szum w dziedzinie częstotliwości, a następnie przekształcić go w domenę czasu za pomocą Pythona. Aby zrozumieć problem, po prostu wygenerowałem biały szum w dziedzinie czasu i przekształciłem go w domenę częstotliwości:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Nie patrzę wcale tak, jak się spodziewałem: Pytania:

• Czy biały szum nie powinien mieć płaskiej odpowiedzi? (równe kwoty dla wszystkich częstotliwości)
• Jaki jest związek między odchyleniem standardowym (1 w moim przykładzie) a wielkością i fazą?

Z góry dziękuję!

Czy biały szum nie powinien mieć płaskiej odpowiedzi? (równe kwoty dla wszystkich częstotliwości)

Oczekiwać odpowiedzi wielkość białego szumu jest płaska (to co JasonR nazywa widmowa gęstość mocy). Żaden konkretny przypadek sekwencji białego szumu nie będzie miał dokładnie płaskiej odpowiedzi (to, co JasonR nazywa widmem mocy).

W rzeczywistości transformacja Fouriera białego szumu jest ... białym szumem!

Jaki jest związek między odchyleniem standardowym (1 w moim przykładzie) a wielkością i fazą?

Nie będzie związku między odchyleniem standardowym a fazą. Jeśli chodzi o wielkość, załóżmy, że $n(t)$ jest stacjonarnym białym szumem ze średnią zerową i odchyleniem standardowym$\sigma$ . Następnie autokorelacja (kowariancja) to:

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

Zatem gęstość widmowa mocy wynosi tylko $\sigma^2$ (chociaż dla czasu dyskretnego nastąpi skalowanie na podstawie czasu trwania sygnału).

---

Pytania z komentarza:

1. Kiedy mówisz, że transformata Fouriera jest również białym szumem, jak mogę zmierzyć std-dev, gdy transformacja jest złożona? Prawdziwa, wyimaginowana część czy kombinacja?

Załóżmy, że nasz szum jest czasem dyskretnym i wynosi $n[m]$ (średnia zero, szum Gaussa, biały szum z wariancją $\sigma^2$ ). Następnie transformacja jest:

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

a oczekiwana wartość to:

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

Wariancja części rzeczywistej jest dana przez:

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

Wierzę, że wyobrażona część będzie zachowywać się w ten sam sposób.

2. Czy mógłbyś mi wyjaśnić, w jaki sposób czas trwania sygnału odnosi się do gęstości widmowej mocy (dla dyskretnych sytuacji czasowych)

Uważam, że (w oparciu o powyższe wyprowadzenie) gęstość widmowa mocy (oczekiwana wartość kwadratu DFT) będzie skalowana liniowo w zależności od czasu trwania.

3. Jeśli std-dev nie wpływa na fazę, co decyduje o amplitudzie 3 stopni i rodzaju rozkładu (wydaje się raczej jednolita niż normalna)

Sprawdź tabelę na stronie 2 tego pliku PDF . mówi, że argument (faza) współczynników będzie równomiernie rozłożony, jak sam twierdzisz. Zrzut ekranu z tabeli poniżej.