W jaki sposób filtr może mieć zerowe opóźnienie grupy?

Jeśli przełożysz pakiet falowy przez pasmo przepustowe filtra dolnoprzepustowego pierwszego rzędu, zostanie on opóźniony przez grupowe opóźnienie filtra i pozostanie tej samej amplitudzie, prawda?

Jeśli przełożysz ten sam pakiet falowy przez uzupełniający filtr górnoprzepustowy pierwszego rzędu z tą samą częstotliwością odcięcia, krzywa opóźnienia grupowego jest taka sama, więc opóźnienie pakietu będzie takie samo, ale wzmocnienie jest znacznie niższe, więc będzie być zarówno opóźnionym, jak i osłabionym przez zaniedbanie.

Ponieważ moc wyjściowa filtra górnoprzepustowego jest bardzo mała, jeśli zsumujesz moc wyjściową tych dwóch filtrów (jak w zwrotnicy audio), spodziewam się, że będzie nieznacznie różnić się od mocy wyjściowej filtra dolnoprzepustowego: Duży opóźniony sygnał + bardzo mały sygnał opóźniony = duży sygnał opóźniony.

Jeśli jednak sumuje się odpowiedzi filtra, amplituda wynosi 0 dB wszędzie, a faza wynosi 0 wszędzie, a zatem opóźnienie grupy staje się 0, co oznaczałoby, że pakiet falowy wychodzi bez opóźnienia i bez zmian. Nie rozumiem, jak to możliwe. Czy filtry nie zawsze powodują opóźnienie? W jaki sposób filtr (który ma również dodatnie opóźnienie grupowe) może cofnąć opóźnienie spowodowane przez inny kanał, szczególnie gdy dzieje się to w paśmie zatrzymania?

Którą część tutaj źle rozumiem?

Najbardziej znanymi typami zwrotnic z fazą liniową są nieodwrócone zwrotnice pierwszego rzędu ... Crossover pierwszego rzędu jest fazą minimalną, gdy jego wyjścia są normalnie sumowane; ma wykres fazy płaskiej przy 0 °. - Projekt aktywnych zwrotnic

i

Tutaj wynik sumowania wyjść razem powoduje przesunięcie fazowe 0 °, co oznacza, że ​​zsumowana amplituda i przesunięcie fazowe zwrotnicy pierwszego rzędu jest równoważne kawałkowi drutu. - Linkwitz-Riley Crossovers: A Primer: sieci pierwszego rzędu

Testowanie rzeczywistych impulsów pokazuje, w jaki sposób dolnoprzepustowy (niebieski) opóźnia puls, zgodnie z oczekiwaniami, oraz w jaki sposób górnoprzepustowy (zielony) może łączyć się z nim w celu wytworzenia oryginalnego (czerwonego) impulsu, ale w jaki sposób impuls górnoprzepustowy występuje przed oryginałem, jeśli filtr górnoprzepustowy jest przyczynowy i ma dodatnie opóźnienie grupy? Intuicja mnie zawodzi.

To ma pokazać, że wyjście górnoprzepustowy nie jest tak nieznaczna, jak sobie wyobrażałem, a opóźnienie jest bardziej znikomy niż sobie wyobrażałem, a po przesunięciu częstotliwości nośnej wokół tych dwóch właściwości zmieniają się w sposób proporcjonalny (mniejsze opóźnienia wyjście wymaga mniejszej amplitudy górnoprzepustowy to poprawić). Ale nadal tak naprawdę tego nie rozumiem.

Istnieje kilka interesujących aspektów „odbudowy do jedności”. Po pierwsze, istnieją dwa sposoby łączenia dwóch filtrów: równoległy i szeregowy. W przypadku topologii równoległej ZAWSZE można znaleźć filtr uzupełniający, aby pary dodawały do ​​jedności. Właściwie to dość łatwe. Po prostu zrób$\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$. W dziedzinie czasu oznacza to, że odpowiedź impulsowa filtra komplementarnego jest po prostu ujemna względem pierwotnej odpowiedzi impulsowej z 1 dodanym do pierwszej próbki. Więc wszystkie „dzwoniące” rzeczy się znoszą. Teraz kształt tego bezpłatnego filtra nie zawsze jest taki, jakiego można by się spodziewać. W przypadku dolnoprzepustowego rzędu pierwszego faktycznie jest to górnoprzepustowy pierwszego rzędu, ale w przypadku filtrów wyższego rzędu ma tendencję do wahań nad / pod w obszarze odcięcia. Jednak zawsze istnieje jako stabilny filtr przyczynowy.

Szeregowa (lub kaskadowa) „rekonstrukcja jedności” jest nieco bardziej skomplikowana. Oczywiście filtry musiałyby być odwrotne względem siebie, tj$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$. Zasadniczo można to zrobić dla każdego filtra fazy minimalnej. Filtr odwrotny do fazy minimalnej jest również fazą minimalną i oba są przyczynowe i stabilne.

Pozostaje nam zatem pytanie, jak interpretować opóźnienie grupowe w tych przypadkach. Kaskada jest właściwie bardziej interesująca. Ponieważ filtry są odwrócone względem siebie, faza, a zatem opóźnienie grupy, jednego jest ujemne względem drugiego. Tak więc przy częstotliwościach, w których jeden filtr ma dodatnie opóźnienie grupy, drugi ma ujemne opóźnienie grupy. Prostym przykładem może być niska półka z zyskiem + 6dB i niska półka o cięciu 6dB. Tak więc opóźnienia grup negatywnych są bardzo realne i na pewno nie stanowią naruszenia związku przyczynowego. W praktyce pojawiają się one w obszarach filtra, które są dość „niepłaskie”, więc tradycyjna interpretacja „opóźnienia obwiedni” nie do końca się stosuje, ponieważ istnieje również duża ilość zniekształceń amplitudy.

Jeśli Google „opóźnienie grupy negatywnej”, można znaleźć kilka artykułów IEEE, które dotyczyły tego tematu.

W tym problemie nie ma niewłaściwego zastosowania opóźnienia grupowego ani naruszenia fizyki lub związku przyczynowego. Definicja opóźnienia grupowego jako ujemnej pochodnej fazy w odniesieniu do częstotliwości nadal obowiązuje, ponieważ każdy filtr sam w sobie ma dodatnie opóźnienie czasowe, które nie jest stałe w stosunku do częstotliwości. Szczegóły są ujawnione w tym, co dzieje się, gdy filtry są połączone równolegle lub szeregowo.

W tym przykładzie filtra krzyżowego dwa filtry są oczywiście równoległe, aby osiągnąć pokazany wynik, co jest wówczas bardzo intuicyjne, w jaki sposób wynik może mieć opóźnienie grupy 0: dwa filtry są komplementarnym dolnoprzepustowym i górnoprzepustowym; a po podłączeniu równoległym działają tak, jakby żaden z filtrów nie był obecny (all-pass, z opóźnieniem 0). Gdyby te filtry były połączone szeregowo, wynikiem byłoby pasmowoprzepustowe na zwrotnicy z oczekiwanym opóźnieniem; górnoprzepustowy tłumiłby niskie częstotliwości, a dolnoprzepustowy tłumiłby wysokie częstotliwości, a przy zwrotnicy oba sygnały przejdą -3 dB sygnału, co daje wartość 0,5 i fazę = 0 ° przy zwrotnicy :$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Rozważ ogólny przypadek dwóch układów liniowych równoległych i częstotliwościowych, jak pokazano na poniższym schemacie blokowym wraz z ich odpowiedziami częstotliwościowymi. Zauważ, że współczynniki i wykładniki są funkcjami częstotliwości, które pominąłem, aby zachować proste i jasne wyrażenia;$A_1 e^{j\phi_1}$ reprezentuje $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$ a oba wyrażenia są transformatą Fouriera odpowiedzi impulsowej tych układów (charakterystyka częstotliwościowa), takimi jak wykresy pokazane przez OP dla systemów górnoprzepustowych i dolnoprzepustowych.

Rozważ pierwszy przypadek w świetle pytania PO. Na skrzyżowaniu każdy filtr ma wielkość i fazę podane jako:

Highpass at crossover: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

Dolnoprzepustowy przy zwrotnicy: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Równolegle wynikiem byłoby: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$ która jest równa 1 z kątem 0. Ten przypadek najłatwiej jest zobaczyć graficznie jako dodanie dwóch wektorów:

Wynik byłby szeregowy $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$. Kiedy mnożymy wektory, mnożymy wielkości i dodajemy fazy (wykładniki), więc ten wynik to po prostu 0,5 z fazą 0.

Przy najwyższej częstotliwości każdy filtr ma wielkość i fazę podane jako:

Highpass as f $\rightarrow \infty$: $1e^{j0}$

Lowpass as f $\rightarrow \infty$: $0e^{-j\pi}$

Zauważ, że wynikiem dla przypadku równoległego jest nadal 1 z kątem 0, ale w przypadku szeregowym zbliża się do 0 (z kątem $-\pi$) w miarę zbliżania się częstotliwości $\infty$. Ma to sens, że górnoprzepustowy przechodzi sygnał (bez opóźnienia - filtr jest przezroczysty przy najwyższych częstotliwościach), ale dolnoprzepustowy całkowicie go blokuje, więc nic nie przechodzi. Dalej widzimy, jak faza zmienia się w kierunku ujemnym, gdy przechodzimy przez zwrotnicę, i występuje opóźnienie w wyniku pasmowoprzepustowych filtrów zsumowanych, jak wynika z ujemnego nachylenia przesunięcia fazy netto w funkcji częstotliwości .

To, co dzieje się pomiędzy, wymaga specjalnej zależności matematycznej między dwoma filtrami, aby kombinacja równoległa mogła zsumować się z fazą zerową (a zatem opóźnieniem grupy zerowej, zasadniczo czyniąc kombinację równoległą również przezroczystą). Rozważ przykład PO, w którym wyraźnie widać, że istnieje relacja kwadraturowa w fazie dwóch filtrów. Mamy zatem:

Aby ten wynik zawsze miał fazę zerową dla wszystkich częstotliwości, musi obowiązywać następująca równość:

Lub alternatywnie opisane jako:

Który jest po prostu prawdziwym i urojonym składnikiem koła jednostek podczas zamiatania $\phi_1$ponad wszystkie możliwe wartości. Dlatego kiedy$A_1 = cos(\phi_1)$ i $A_2 = sin(\phi_1)$, sumowanie wektorowe dwóch filtrów spowoduje dla wszystkich zerową fazę $\phi_1$ a zatem wszystkie częstotliwości.

Jeśli chodzi o możliwą intuicję z ostatecznym spisem, który pokazał OP i jego pytanie, należy wziąć pod uwagę, że pochodna jest funkcją górnoprzepustową - jeśli weźmiesz pochodną czerwonego impulsu, otrzymasz zielony puls. Nie można zacząć uzyskiwać tego wyniku, dopóki nie pojawi się czerwony puls, więc nie ma naruszenia związku przyczynowego.

Pomyślałem, że to dość interesujące pytanie, więc postaram się na nie odpowiedzieć, choć 5 lat później.

Myślę, że odkryłeś sposób niewłaściwego zastosowania jednego ze sposobów pomiaru opóźnienia grupy, to znaczy obliczania go jako ujemnej pochodnej fazy. W tej sytuacji ta metoda nie jest odpowiednia.

W tej sytuacji bardziej odpowiednim sposobem pomiaru opóźnienia grupy jest użycie wejścia fali sinusoidalnej i zmierzenie opóźnienia między wejściem a sumą mocy wyjściowej. Oczywiście, aby uzyskać pełny obraz, należy wykonać przemiatanie częstotliwości, co jest kłopotliwe, ale dokładne.

Jeśli to zrobisz, myślę, że wszyscy możemy zgodzić się, że zmierzysz niezerowe opóźnienie grupy.

Opóźnienie grupowe jest powiązane z grupą, tj. Sygnałem modulowanym, dlatego pomiar opóźnienia grupowego należy wykonać przy użyciu grupy (sygnał modulowany). Grupa wchodząca do filtra powinna być taka sama pod względem kształtu na wyjściu filtra. Kształt oznacza np. Widmo grupy. Pomiary wykonywane na jednej częstotliwości nie zawierają informacji o opóźnieniu grupy.