Jak zaprojektować filtry interpolacyjne Nyquist za pomocą algorytmu Parks-McClellan?

Możemy łatwo zaprojektować filtry interpolacyjne, które spełniają pewne ograniczenia w dziedzinie częstotliwości za pomocą algorytmu Parks-McClellan . Jednak nie jest od razu jasne, jak egzekwować ograniczenia w dziedzinie czasu; w szczególności jestem zainteresowany generowaniem filtrów Nyquist. Więc jeśli oversampling jest jeden raz N, chcę, aby filtr miał zero przecięć kNdla niezerowej liczby całkowitej k(zapewnia to, że próbki wejściowe do mojego interpolatora pojawią się w sekwencji wyjściowej).

Widziałem, jak Harris ¹ mówił o technice projektowania filtrów półpasmowych, czyli o specjalnym przypadku, w którym N=2. Czy istnieje na to ogólne rozwiązanie? (Wiem, że możemy łatwo zaprojektować filtry za pomocą metody okna, ale to nie daje nam takiej samej kontroli).

_{[1] Multirate Signal Processing for Communication Systems , s. 208–209}

Jedną z metod projektowania, aczkolwiek ograniczoną do potęg dwóch, byłoby rozpoczęcie od jednego filtra półpasmowego, wstawienie zer co drugi (tworzy replikę spektralną), a następnie splot z drugim filtrem półpasmowym o szerszym paśmie przejściowym. Powtarzaj proces, aż dojdziesz do wymaganej mocy 2.

Oto przykład, który tworzy filtr dolnoprzepustowy z Fc = fs / 8 i zerowymi przecięciami co 4 próbki:

b0=remez(34,[0 .45 .55 1],[1 1 0 0])';
b1=remez(6,[0 .25 .75 1],[1 1 0 0])';
b0up = zeros(1,2*length(b0)-1);
b0up(1:2:end) = b0;
B0up=freqz(b0up);
b2 = conv(b0up,b1);  % length = 34*2+1 + 6 = 75 coefficients

Jedną z metod uzyskania pożądanego przejścia przez zero jest wykonanie projektu hybrydowego.

Zacznij od pół-pasmowego filtra Parks-McLellan / Remez, któremu przypisano taką samą wagę do pasma przepustowego i pasma zatrzymania. Ponieważ jest to filtr półpasmowy , będzie miał zera przy alternatywnych próbkach. Następnie można interpolować dziedzinę czasu przez sin (x) / x przez wypełnianie zerami w dziedzinie częstotliwości.

Przykład: tworzenie filtra dolnoprzepustowego fs / 12 z zerowymi skrzyżowaniami co 6 próbek.

% prototype Remez filter 
taps=18; 
b = remez(taps,[0 .4 .6 1],[1 1 0 0])';  
% force halfband condition of zeros at every other sample
b(2:2:end)=0;  b(taps/2+1)=.5; 

% zero pad the time domain to give the Gibbs ripple some deadspace
B=fft(b,4*(taps+1) ); 
% split the frequency domain into two halves, split the Nyquist bin
Blo = [ B(1:length(B)/2) 0.5*B(length(B)/2+1) ]; 
Bhi = [ 0.5*B(length(B)/2+1) B(length(B)/2+2:length(B))  ]; 

% insert padding at pi to increase size 3x
Bpad = [ Blo zeros(1,3*length(B)-length(Blo)-length(Bhi) ) Bhi];  
bint = real( ifft(Bpad) ); % this has zeros every 6 samples

Powstały filtr jest bliski, ale nie tak dobry jak prototyp pod względem tętnienia stopband / passband. Interpolacja sin (x) / x wprowadza pewne dzwonienie na niskim poziomie. Może być konieczne nieco przeprojektowanie filtra prototypowego, aby uzyskać wymagany poziom tłumienia w filtrze interpolowanym.