Jakie jest najbardziej przejrzyste, intuicyjne wyjaśnienie różnych FT - CFT, DFT, DTFT i serii Fouriera?

Nawet po dłuższym przestudiowaniu ich, często zapominam [jeśli przez jakiś czas jestem poza kontaktem], jak są ze sobą spokrewnione i co oznaczają (ponieważ mają tak podobne brzmiące nazwy). Mam nadzieję, że wymyślisz wyjaśnienie, które jest tak intuicyjne i matematycznie piękne, że na zawsze zapadną mi w pamięć, a ten wątek posłuży jako super szybkie odświeżenie, gdy tylko ja [lub ktokolwiek inny] tego potrzebuje.

Napisałem tę ulotkę jako uzupełnienie Oppenheim i Willsky'ego . Proszę spojrzeć na Tabelę 4.1 na stronie 14, zamieszczoną poniżej. (Kliknij, aby powiększyć). Napisałem tę tabelę specjalnie, aby odpowiedzieć na pytania takie jak twoje.

Zwróć uwagę na podobieństwa i różnice między czterema operacjami:

1. „Seria”: okresowa w czasie, dyskretna w częstotliwości
2. „Transformacja”: aperiodyczna w czasie, ciągła w częstotliwości
3. „Czas ciągły”: ciągły w czasie, nieokresowy w częstotliwości
4. „Discrete Time”: dyskretny w czasie, okresowy w częstotliwości

Mam nadzieję, że te notatki okażą się pomocne! Prosimy o dystrybucję według własnego uznania.

Aby uzyskać jasne i poprawne wyjaśnienie tych pojęć, musiałbyś przeczytać niektóre standardowe podręczniki (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis lub „Understanding Digital Signal Processing” Richarda Lyonsa, który jest bardzo dobrą, ale stosunkowo mniej popularną książką) . Ale zakładając dyskusję przy stoliku do kawy, przedstawię kilka bardzo luźnych stwierdzeń w dalszej części. :)

W przypadku ogólnego ciągłego sygnału czasowego nie należy oczekiwać żadnej konkretnej częstotliwości, więc jego transformata Fouriera (lub ciągła transformata Fouriera) byłaby ciągłą krzywą ze wsparciem prawdopodobnie -inf do + inf.

Dla okresowego ciągłego sygnału (okres T) Fourier wyraził sygnał jako kombinację sinusów i cosinusów mających ten sam okres (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...). W rzeczywistości widmo tego sygnału jest serią pików w lokalizacjach 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... Nazywa się to reprezentacją szeregu Fouriera. Istnieje twierdzenie, które mówi, że reprezentacja szeregowa Fouriera dowolnego okresowego ciągłego sygnału czasowego jest zbieżna z sygnałem, gdy uwzględnisz coraz więcej sinusów i cosinusów (lub złożonych wykładników) w sensie średniego kwadratu.

Dotychczasowa moralność: okresowość w czasie => widmo kolczaste

Włącz do dyskretnego czasu ... Co się stanie, jeśli spróbujesz sygnału ciągłego czasu? Powinno być jasne, że dla wystarczająco wysokiego sygnału nie można odtworzyć sygnału. Jeśli nie przyjmujesz żadnych założeń co do częstotliwości w sygnale, to biorąc pod uwagę próbkowany sygnał, nie ma możliwości, aby powiedzieć, jaki jest prawdziwy sygnał. Innymi słowy, różne częstotliwości są reprezentowane równoważnie w sygnale czasu dyskretnego. Przejście przez jakąś matematykę powie ci, że możesz uzyskać widmo próbkowanego sygnału z oryginalnego sygnału ciągłego. W jaki sposób? Przesuwasz spektrum ciągłego sygnału czasowego o kwoty + -1 / T, + -2 / T, ... i dodajesz wszystkie przesunięte kopie (z pewnym skalowaniem). Daje to ciągłe spektrum, które jest okresowe z okresem 1 / T. (uwaga: widmo jest okresowe w wyniku próbkowania w czasie, sygnał czasu nie „ muszą być okresowe) Ponieważ widmo jest ciągłe, równie dobrze można go przedstawić za pomocą jednego z jego okresów. Jest to DTFT (transformata Fouriera „Discrete-Time”). W przypadku, gdy oryginalny sygnał ciągłego czasu ma częstotliwości nie wyższe niż + -1 / 2T, przesunięte kopie widma nie nakładają się, a zatem można odzyskać oryginalny sygnał ciągłego czasu, wybierając jeden okres widma ( twierdzenie Nyquista dotyczące próbkowania).

Kolejny sposób na zapamiętanie: kolczasty sygnał czasu => okresowość w widmie

Co się stanie, jeśli spróbujesz okresowego sygnału ciągłego z okresem próbkowania T / k dla pewnego k? Cóż, widmo sygnału w czasie ciągłym było spiczaste, a próbkowanie go przez jakiś dzielnik T oznacza, że ​​skoki w przesuniętych kopiach spadają dokładnie na wielokrotności 1 / T, więc otrzymane widmo jest kolczastym spektrum okresowym . kolczasty okresowy sygnał czasu <=> kolczaste widmo okresowe (przy założeniu, że okres i częstotliwość próbkowania są „ładnie powiązane”, jak powyżej.) Jest to tak zwane DFT (dyskretna transformata Fouriera). FFT (Fast Fourier Transform) to klasa algorytmów do wydajnego obliczania DFT.

Sposób wywoływania DFT jest następujący: Załóżmy, że chcesz przeanalizować sekwencję N próbek w czasie. Możesz wziąć DTFT i poradzić sobie z jednym z jego okresów, ale jeśli przyjmiesz, że twój sygnał jest okresowy z okresem N, wtedy DTFT zmniejsza się do DFT i masz tylko N próbek jednego okresu DTFT, które całkowicie charakteryzują sygnał. Możesz zerować sygnał w czasie, aby uzyskać dokładniejsze próbkowanie widma i (wiele innych takich właściwości).

Wszystkie powyższe są przydatne tylko wtedy, gdy towarzyszy im badanie DSP. Powyższe to tylko niektóre bardzo przybliżone wytyczne.

Niech oznacza funkcję ograniczoną z okresem T , to znaczy dla wszystkich liczb rzeczywistych t , x ( t + T ) = x ( t ) . Jako szczególny przykład cos ( 2 π t / T ) jest taką funkcją. Chcemy znaleźć „najlepsze” przybliżenie a n cos ( 2 π n t / T ) dla tej funkcji, w której chcemy wybrać współczynnik a $x(t)$$T$$t$$x(t+T) = x(t)$$\cos(2\pi t/T)$$a_n\cos(2\pi nt/T)$$a_n$tak że squared errorjest tak mały, jak to możliwe. Rozszerzając całkę, mamy błąd do kwadratu = ∫ T 0 x 2 ( t

$$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$$ Całka z lewej strony jest energią E dostarczoną przez jeden okres x ( t ), natomiast całka z prawej strony ma wartość T / 2, więc widzimy, że błąd kwadratowy = E - 2 a n ∫ T 0 x ( t ) cos ( 2 π n t / T $$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ $E$$x(t)$$T/2$ Teraz. dlaa>0funkcja kwadratowaaz2+bz+cma minimum przyz=-b/2a (w połowie odległości między pierwiastkami(-b/2a)± $$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$$ $a > 0$$az^2 + bz + c$$z = -b/2a$!!) i tak, ponieważ wyrazili kwadrat błędu jako kwadratowa funkcjaan, wybóran, które minimalizuje kwadrat błędu n=$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$$a_n$$a_n$ Podobnie, wybierając b n jako b n = $$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ $b_n$ minimalizuje kwadratowy błąd między x ( t ) i b n sin ( 2 Õ n T / T ) . Widzimy zatem, że szereg Fouriera jest niczym innym, jak tanią sztuczką, aby znaleźć przybliżenie błędu minimalnego kwadratu do funkcji okresowej x ( t ) pod względem sygnałów sinusoidalnych i cosinusowych tego samego okresu i ich harmonicznych. $$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$$ $x(t)$$b_n\sin(2\pi nt/T)$$x(t)$

Endolith ma rację, jeśli faktycznie zaczniesz od serii Fouriera i zobaczysz, w jaki sposób rozszerza się on na transformację Fouriera, wtedy sprawy zaczynają mieć sens. Podaję krótkie wyjaśnienie tego w pierwszej połowie tej odpowiedzi .

Dobrym (być może nie prostym) sposobem spojrzenia na rodzinę transformacji Fouriera (przez którą rozumiem 4 wymienione powyżej), są gogle dualności Pontryagin . Daje to dobry sposób na zapamiętanie różnych transformacji domen oryginalnych i transformowanych.

$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{T}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{T}$

Ta odpowiedź nie jest w pełni kompletna i być może wykorzystam tę odpowiedź, aby wyjaśnić kilka kwestii, kiedy będę miał czas, ale do tego czasu może to być coś do przeżuwania, dopóki nie uzyskasz bardziej intuicyjnego wyjaśnienia od kogoś innego. Spróbuj także przeczytać warianty analizy Fouriera na Wikipedii.

Myślę, że najważniejsze jest fundamentalne zrozumienie, dlaczego potrzebujemy transformacji Fouriera. Są jedną z wielu możliwych transformacji sygnałów, ale także jedną z najbardziej przydatnych. Transformacja zasadniczo przekształca sygnał w inną domenę, która może dać nam wgląd w sygnał w tej domenie lub może być tak, że domena jest matematycznie łatwa w działaniu. Po zakończeniu pracy w tej dziedzinie możemy wykonać transformację odwrotną, aby łatwiej uzyskać pożądany wynik.

Najbardziej podstawowym elementem składowym teorii Fouriera są monotony (sinus i cosinus). Możemy rozkładać sygnał na jego składowe częstotliwościowe (monotony) za pomocą matematyki Fouriera. Tak więc transformacja Fouriera zasadniczo przekształca sygnał z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości. Współczynnik każdego z monotonów w szeregu Fouriera mówi nam o sile tej składowej częstotliwości w sygnale. Transformaty Fouriera (CFT, DFT) wyraźnie dają nam widok sygnału w dziedzinie częstotliwości. W naturze sinus i cosinus są głównymi kształtami fal. Sygnały syntetyczne, takie jak fala kwadratowa lub sygnały o ostrych fluktuacjach, rzadziej występują w naturze i nie zaskakują, że składają się z nieskończonego zakresu częstotliwości, co bardzo wyraźnie wyjaśniono transformacjami Fouriera. Ludzie mieli wątpliwości, czy jakikolwiek sygnał może być zepsuty jako suma sinusów / cosinusów. Fourier pokazał kwadratowy przebieg (który jest daleko od sinusów / cosinusów). Biały szum zawiera wszystkie częstotliwości o jednakowej sile.

Ponadto, jeśli pracujesz z szeregami Fouriera, wówczas współczynniki wraz z członem fazowym można uznać za te, które są wymagane do prawidłowego nałożenia składowych przebiegów sinosoidalnych, tak że superpozycja jest rzeczywiście wymaganym sygnałem, którego bierzesz za transformację. Podczas pracy z transformatami Fouriera liczby zespolone domyślnie mają warunki fazowe i wymaganą wielkość każdego z monotonicznych. (integracja jest z grubsza jak sumowanie. ciągłe => integracja, dyskretne => sumowanie)

Myślę, że kiedy już zrozumiesz temat koncepcji, wszystkie pozostałe są tylko szczegółami, które sam musisz zrozumieć, czytając książki. Czytanie o zastosowaniu transformacji Fouriera do różnych pól da ci lepszą percepcję.

DFT jest transformacją wektora par liczb z jednej przestrzeni ortogonalnej na drugą. Bardzo często wykonywane jako obliczenia numeryczne. Z jakiegoś powodu, biorąc jedną wiązkę liczb ze świata rzeczywistego, druga wiązka liczb często okazuje się wystarczająco blisko czegoś całkiem przydatnego.

Przypomina mi się nieracjonalna skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych , zwłaszcza w odniesieniu do zastosowania DFT w wielu systemach, które wydają się być przybliżone przez różnego rodzaju równanie różniczkowe drugiego stopnia, nawet dźwięk łyżeczki do kawy, którą właśnie upuściłem.

Pozostałe 3 XYZ-FT przyjmują założenia o istnieniu mitycznych nieskończonych bytów, aby pomóc symbolicznym rozwiązaniom zmieścić się na tablicy, zanim kawa zrobi się zbyt zimna. Są „kulistymi krowami” przetwarzania sygnałów. Serie DTFT i Fouriera udają, że jeden wektor można przedłużyć nieskończenie kosztem nieskończonej gęstości drugiego bytu. Seria Fouriera udaje, że obie istoty mogą być nieskończonymi funkcjami ciągłymi.

Weź wystarczającą liczbę kursów matematycznych, a można nawet określić wszystkie definicje i założenia wymagane do tego, aby te fikcyjne byty były dokładne i w pewnym sensie uzupełniały dualistyczne.